抽象的な定式化
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/17 10:00 UTC 版)
体 k 上のベクトル空間 V に対して、縮約の要となる最も単純な場合は、V とその双対 V∗ との自然な内積 (pairing) を考えることである。自然な内積は、f ∈ V∗, v ∈ V に対して ⟨f, v⟩ = f(v) と置いて得られる双線型写像に対応する、テンソル積からの線型写像 C : V ∗ ⊗ V → k {\displaystyle C\colon V^{*}\otimes V\to k} として理解できる。この写像 C が V∗ ⊗ V の元としての (1,1)-型テンソルに対する縮約演算を定義する。得られるのが k の元であるスカラーであることに注意せよ。V∗ ⊗ V と V から V への線型写像全体の成す空間 L(V, V) との間の自然な同型 を用いれば、跡の基底を用いない定義が得られる。 一般に、m ≥1, n ≥ 1 を整数として、(m, n)-型テンソル、すなわちベクトル空間 V ⊗ ⋯ ⊗ V ⊗ V ∗ ⊗ ⋯ ⊗ V ∗ {\displaystyle V\otimes \cdots \otimes V\otimes V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{*}} （V が m 個、V∗ が n 個）の元 に対して、V の部分の k-番目の因子と V∗ の部分の l-番目の因子に対して自然な内積を適用（し、ほかの因子には恒等写像を適用）することで (k, l)-縮約演算が定義され、それは (m − 1, n − 1)-型テンソルを返す線型写像となる。(1, 1)-型の場合からの流用で、この一般の縮約演算のことも跡と呼ぶことがある。
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