圏論との関係
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/22 07:06 UTC 版)
「共変性と反変性 (計算機科学)」の記事における「圏論との関係」の解説
サブタイプ関係を射として型の集まり C を圏と見ることができる。プログラム上で例えば型 p の値を受け取って型 r の値を返す関数を定義したとすると、型システムにおいては関数の型「p →r 」を生成したことになる。このような関数の型の構文（型構築子）は、2つの型から新たな型を生成する写像 F : C ×C → C と考えられる。関数の型のルールとして静的型安全なのルールに従うとすると、この写像 F は、第1引数についてはサブタイプ関係を反転して写し（反変関手に相当）、第2引数についてはサブタイプ関係を同じ形のまま写す（共変関手に相当）。
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圏論との関係
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/09/09 09:54 UTC 版)
モノイドは圏の特別なクラスと看做すことができる。実際、モノイドにおいて二項演算に課される公理は、圏において（与えられたただ一つの対象を始域および終域とする射の集合だけで考えれば）射の合成に課される公理と同じである。すなわち、 モノイドはただひとつの対象をもつ圏（単一対象圏）と本質的に同じものである。 もっとはっきり述べれば、モノイド (M, •) はただひとつの対象をもち、M の元を射として小さい圏を成す（射の合成はモノイド演算 • で与えられる）。 これと平行して、モノイド準同型は単一対象圏の間の函手とみなされる。ゆえに、今考えている圏の構成は（小さい）モノイドの圏 Mon と（小さい）圏の圏 Cat のある充満部分圏との間の圏同値を与えるものになっている。同様に、（小さい）群の圏は、Cat の（モノイドの圏とは別の）ある充満部分圏に同値である。 この意味では、圏論をモノイドの概念の一般化であると考えることができ、モノイドに関する定義や定理の多くを（ひとつまたはそれ以上の対象を持つ）小さい圏に対して一般化することができる。例えば、単一対象圏の商圏とは、剰余モノイドのことである。 モノイドの全体は（他の代数的構造がそうであるのと同様に）、モノイドを対象としモノイド準同型を射とする圏 Mon を成す。 また、抽象的な定義によって、各圏における「モノイド」としてモノイド対象の概念が定まる。通常のモノイドは（小さい）集合の圏 Set におけるモノイド対象である。
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