モノイド
| 代数的構造 |
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抽象代数学における単系（たんけい）またはモノイド（英: monoid）とは、結合法則と単位元を有するマグマである。モノイドは単位元を有する半群（単位的半群）であるため、半群論の研究対象の範疇に属する。
モノイドの概念は数学のさまざまな分野に現れる。たとえば、モノイドはそれ自身が「ただひとつの対象をもつ圏」と見ることができ、したがって「集合上の写像とその合成」といった概念を捉えたものと考えることもできる。モノイドの概念は計算機科学の分野でも、その基礎付けや実用プログラミングの両面で広く用いられる。
モノイドの歴史や、モノイドに一般的な性質を付加した議論などは半群の項に譲る。
定義
集合 S とその上の二項演算 •: S × S → S が与えられ、以下の条件
- 結合律
- S の任意の元 a, b, c に対して、(a • b) • c = a • (b • c).
- 単位元の存在
- S の元 e が存在して、S の任意の元 a に対して e • a = a • e = a.
を満たすならば、組 (S, •, e) をモノイドという。まぎれの虞のない場合、対 (S, •) あるいは単に S のみでも表す。 二項演算の結果 a • b を a と b の積[注釈 1]と呼ぶ。手短に述べれば、モノイドとは単位元を持つ半群のことである。モノイドに各元の可逆性を課せば、群が得られる。逆に任意の群はモノイドである。
二項演算の記号は省略されることが多く、たとえば先ほどの公理に現れる等式は (ab)c = a(bc), ea = ae = a と書かれる。本項でも明示する理由がない限り二項演算の記号を省略する。
モノイドの構造
部分モノイド
モノイド M の部分集合 N が M の部分モノイド (submonoid) とは、M の単位元を含み、閉性質: x, y ∈ N ならば xy ∈ N となるようなものをいう。これは M のモノイド演算の制限 •|N: N × N → M の像が im(•|N) ⊂ N を満たすということであり、従って •|N は N 上の二項演算を定め、部分モノイド N は明らかにそれ自身が一つのモノイドとなる。
モノイドの生成
部分集合 S がモノイド M の生成系 (generator) であるとは M の任意の元が S の元だけから二項演算を繰り返して得られることをいう（生成系に属する元を生成元という）。モノイド M がその部分集合 S で生成されるとき M = ⟨S⟩ などと書く。
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