チェックコホモロジー
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/08/19 14:56 UTC 版)
「層係数コホモロジー」の記事における「チェックコホモロジー」の解説
詳細は「 チェックコホモロジー（英語版）」を参照 最初に定義された層コホモロジーのバージョンは、チェックコホモロジー（英語版）(Čech cohomology)を基礎とし、そこでは、位相空間 X の開集合 U の属する小さな変換が、前もって固定されているアーベル群 A の上というよりも U 上で変化するアーベル群 F(U) とされている。このことは、コチェインが具体的に書き下すことが容易であることを意味し、実際、有理型函数のクザン問題のような典型的な応用が、数学の領域の中で有名な一群をなす。層の観点からは、チェック理論は、A に値を持つ局所定数函数への層の制限である。層の理論の中では、基本群がその上で作用する局所係数（英語版）をもつような、つまり、より一般的な係数の非常に異なった種類を持つツイストしたバージョンと見ることをも含んでいる。 この理論の一つの問題は、X 自体がうまく振る舞わ（英語版）(well-behaved)ないと チェックコホモロジーが良い性質を持たないということである。このことは、X が多様体のような場合は困難ではないが、ザリスキー位相が一般にはハウスドルフ的ではないので、代数幾何学への応用では困ることになる。チェックコホモロジーの問題は、層の短完系列に付随するコホモロジー群の長完全系列を作ることに失敗することで明白となる。実践的には、このことは計算を行うときの基本的方法（つまり、与えられた層から短完全系列を通して他のものをどのようにして導き出すかを示し、結果を求める）である。理論は暫くの間、混乱した状態であった。ジャン・ピエール・セール(Jean-Pierre Serre)はチェックの理論が成り立つことを示し、他方、アレクサンドル・グロタンディーク(Alexandre Grothendieck)は、長完全系列の成り立つようなより抽象的な定義を提案した。
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