加群の層とは？わかりやすく解説

数学において， $O$ 加群の層 (sheaf of $O$ -modules) あるいは単に環付き空間 $(X, O)$ 上の $O$ 加群 ( $O$ -module) とは，層 $F$ であって， $X$ の任意の開部分集合 $U$ に対し， $F (U)$ が $O (U)$ 加群であり，制限写像 $F (U) \to F (V)$ が制限写像 $O (U) \to O (V)$ と整合的なもの，すなわち $O (U)$ の任意の $f$ と $F (U)$ の任意の $s$ に対し， $fs$ の制限が $f$ の制限と $s$ の制限との積であるものである．

標準的な場合は $X$ がスキームで $O$ がその構造層であるときである． $O$ が定数層（英語版） ${\underline {\mathbf {Z} }}$

詳細は「層係数コホモロジー」を参照

層コホモロジーは計算が難しいことに定評がある．そのため，次の一般的な事実はどんな実際の計算に対しても基本的である：

定理 ― $X$ を位相空間とし， $F$ をその上のアーベル群の層とし， ${\mathfrak {U}}$ を $X$ の開被覆であって $\operatorname {H} ^{i}(U_{i_{0}}\cap \cdots \cap U_{i_{p}},F)=0$ がすべての $i$ , $p$ , $U_{i_{j}}\in {\mathfrak {U}}$ に対して成り立つものとする．このとき任意の $i$ に対して

\operatorname {H} ^{i}(X,F)=\operatorname {H} ^{i}(C^{\bullet }({\mathfrak {U}},F))

が成り立つ．ただし右辺は $i$ 次チェックコホモロジー（英語版）である．

セールの定理A（英語版）により， $X$ が射影多様体で $F$ がその上の連接層のとき，十分大きい $n$ に対して， $F (n)$ は有限個の大域切断によって生成される．さらに，

(a) 任意の

i

に対して

H i (X, F)

は

R 0

上有限生成であり，

(b) （セールの定理B（英語版））

F

に依存する整数

n 0

が存在して，

\operatorname {H} ^{i}(X,F(n))=0,\,i\geq 1,n\geq n_{0}

となる．

層の拡大

$(X, O)$ を環付き空間とし， $F$ , $H$ を $X$ 上の $O$ 加群の層とする． $H$ の $F$ による拡大 (extension) とは， $O$ 加群の短完全列

0\rightarrow F\rightarrow G\rightarrow H\rightarrow 0

である．

群の拡大と同様， $F$ と $H$ を固定すれば， $H$ の $F$ による拡大の同値類全体はアーベル群をなし（cf. Baer和（英語版）），この群は Ext 群 $\mathrm {Ext} _{O}^{1}(H,F)$ と同型で，単位元は自明な拡大と対応する．

$H$ が $O$ のとき次が成り立つ．すべての $i \geq 0$ に対して

\operatorname {H} ^{i}(X,F)=\mathrm {Ext} _{O}^{i}(O,F),

なぜならば両辺とも同じ関手 $\Gamma (X,-)=\operatorname {Hom} _{O}(O,-)$ の右導来関手だからである．

注意：著者によっては（特にハーツホーン），添え字 $O$ を書かない．

$X$ をネーター環上の射影スキームとする． $F$ , $G$ を $X$ 上の連接層とし， $i$ を整数とする．するとある $n 0$ が存在して

\operatorname {Ext} _{O}^{i}(F,G(n))=\Gamma (X,{\mathcal {E}}xt_{O}^{i}(F,G(n))),\,n\geq n_{0}

となる^[13]．

「local-to-global Ext spectral sequence（英語版）」も参照

脚注

^ Vakil, Math 216: Foundations of algebraic geometry, 2.5.
^ Hartshorne, Ch. III, Proposition 2.2.
^ このコホモロジー関手はアーベル層の圏における大域切断関手の右導来関手と一致する； cf. Hartshorne, Ch. III, Proposition 2.6.
^ 標準的な準同型

${\mathcal {H}}om_{O}(F,O)_{x}\to \operatorname {Hom} _{O_{x}}(F_{x},O_{x})$

が存在し， $F$ が有限表示のときこれは同型である (EGA, Ch. 0, 5.2.6.)
^ 連接層に対し，テンソル逆を持つことは階数 1 で局所自由であることと同じである；実は，次が成り立つ： $F\otimes G\simeq O$ である； $F$ が連接であれば， $F,$ $G$ は階数 1 で局所自由である．(cf. EGA, Ch 0, 5.4.3.)
^ Hartshorne, Ch III, Lemma 2.4.
^ See also: http://math.stackexchange.com/questions/447220/hartshornes-weird-definition-of-right-derived-functors-and-prop-iii-2-6/447234#447234
^ Hartshorne, Ch. II, Proposition 5.1.
^ EGA I, Ch. I, Proposition 1.3.6.
^ ^a ^b EGA I, Ch. I, Corollaire 1.3.12.
^ EGA I, Ch. I, Corollaire 1.3.9.
^ Hartshorne, Ch. II, Proposition 5.11.
^ Hartshorne, Ch. III, Proposition 6.9.

参考文献

[1] Vakil, Math 216: Foundations of algebraic geometry, 2.5.

[2] Hartshorne, Ch. III, Proposition 2.2.

[3] このコホモロジー関手はアーベル層の圏における大域切断関手の右導来関手と一致する； cf. Hartshorne, Ch. III, Proposition 2.6.

[4] 標準的な準同型

${\mathcal {H}}om_{O}(F,O)_{x}\to \operatorname {Hom} _{O_{x}}(F_{x},O_{x})$

が存在し， $F$ が有限表示のときこれは同型である (EGA, Ch. 0, 5.2.6.)

[5] 連接層に対し，テンソル逆を持つことは階数 1 で局所自由であることと同じである；実は，次が成り立つ： $F\otimes G\simeq O$ である； $F$ が連接であれば， $F,$ $G$ は階数 1 で局所自由である．(cf. EGA, Ch 0, 5.4.3.)

[6] Hartshorne, Ch III, Lemma 2.4.

[7] See also: http://math.stackexchange.com/questions/447220/hartshornes-weird-definition-of-right-derived-functors-and-prop-iii-2-6/447234#447234

[8] Hartshorne, Ch. II, Proposition 5.1.

[9] EGA I, Ch. I, Proposition 1.3.6.

[Corollary_1.3.12.-10] EGA I, Ch. I, Corollaire 1.3.12.

[11] EGA I, Ch. I, Corollaire 1.3.9.

[12] Hartshorne, Ch. II, Proposition 5.11.

[13] Hartshorne, Ch. III, Proposition 6.9.

[13]

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