短完全列
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/30 06:56 UTC 版)
完全列の最もよく現れるタイプは短完全列 (short exact sequence) である。これは A ↪ f B ↠ g C {\displaystyle A\;{\overset {f}{\hookrightarrow }}\;B\;{\overset {g}{\twoheadrightarrow }}\;C} の形の完全列である。ただし ƒ はモノ射で g はエピ射である。この場合、A は B の部分対象であり、対応する商は C に同型である。 C ≅ B / f ( A ) {\displaystyle C\cong B/f(A)} （ただし f(A) = im(f)）。 アーベル群の短完全列は5つの項をもった完全列として書くこともできる。 0 → A → f B → g C → 0 {\displaystyle 0\;{\xrightarrow {}}\;A\;{\xrightarrow {f}}\;B\;{\xrightarrow {g}}\;C\;{\xrightarrow {}}\;0} ただし 0 は自明群や0次元ベクトル空間といった零対象を表す。0 の配置によって ƒ は単射であり g はエピ射になる（下記参照）。
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短完全列
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/30 09:29 UTC 版)
特に、0 → A → B → C → 0 あるいは同じことだが A ↪ f B ↠ g C {\displaystyle A{\stackrel {f}{{}\hookrightarrow {}}}B{\stackrel {g}{{}\twoheadrightarrow {}}}C} なるかたちの完全系列を短完全列 (short exact sequence) と呼ぶ。このとき、A は B の部分対象と同一視され、C は商対象 B/A と同一視される。短完全列が分裂するあるいは分解するとは、切断あるいは断面 (section) と呼ばれる写像 s: C → B で g ∘ s = i d C {\displaystyle g\circ s={\rm {id}}_{C}} となるものが存在することを言う。
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