コホモロジーの長完全列
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/12 10:21 UTC 版)
「群のコホモロジー」の記事における「コホモロジーの長完全列」の解説
実際には次の事実を使ってコホモロジー群を計算することがしばしばある。つまり G 加群の短完全列 0 → L → M → N → 0 {\displaystyle 0\to L\to M\to N\to 0} は長完全列 0 → L G → M G → N G → δ 0 H 1 ( G , L ) → H 1 ( G , M ) → H 1 ( G , N ) → δ 1 H 2 ( G , L ) → ⋯ {\displaystyle 0\to L^{G}\to M^{G}\to N^{G}{\overset {\delta ^{0}}{\to }}H^{1}(G,L)\to H^{1}(G,M)\to H^{1}(G,N){\overset {\delta ^{1}}{\to }}H^{2}(G,L)\to \dotsb } を誘導する。いわゆる連結準同型 δ n : H n ( G , N ) → H n + 1 ( G , L ) {\displaystyle \delta ^{n}\colon H^{n}(G,N)\to H^{n+1}(G,L)} は非斉次双対鎖のことばで次のように記述できる。もし c が Hn(G, N) の n 次の双対鎖 φ : Gn → N に代表される元ならば、δn(c) は dn+1(ψ) に代表される。ここで ψ は φ を「持ち上げて」（つまり φ が ψ と全射 M → N の合成となるようにして）得られる n 次の双対鎖 Gn → M である。
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