ドルボーの定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/08/17 14:18 UTC 版)
「ドルボーコホモロジー」の記事における「ドルボーの定理」の解説
ドルボーの定理はドラームの定理の複素版で、ドルボーコホモロジーが正則微分形式の層に関する層係数コホモロジーに同型であることを主張する。 定理 (Dolbeault) 複素多様体 M 上の正則 p-形式全体の成す層を Ωp と書けば、 H p , q ( M ) ≅ H q ( M , Ω p ) {\displaystyle H^{p,q}(M)\cong H^{q}(M,\Omega ^{p})} が成り立つ。 対数的微分形式に対する同様の定理もある。 証明 F p , q {\textstyle {\mathcal {F}}^{p,q}} を (p, q) 次の C∞-級複素微分形式全体の成す細層とすれば ∂ に関するポワンカレの補題により系列 Ω p , q → ∂ ¯ F p , q + 1 → ∂ ¯ F p , q + 2 → ∂ ¯ ⋯ {\displaystyle \Omega ^{p,q}{\stackrel {\overline {\partial }}{{}\to {}}}{\mathcal {F}}^{p,q+1}{\stackrel {\overline {\partial }}{{}\to {}}}{\mathcal {F}}^{p,q+2}{\stackrel {\overline {\partial }}{{}\to {}}}\dotsb } は完全である。任意の長完全列と同様にこの列を短完全列に分解し、対応するコホモロジーの長完全列を作れば、細層の高次コホモロジーは消えるのだから、所期の結果を得る。
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