ケーラー多様体上のラプラス作用素
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/29 06:13 UTC 版)
「ケーラー多様体」の記事における「ケーラー多様体上のラプラス作用素」の解説
⋆ {\displaystyle \star } をホッジ作用素とすると、微分可能多様体 X 上でラプラス作用素を次のように定義することができる。 Δ d = d d ∗ + d ∗ d {\displaystyle \Delta _{d}=dd^{*}+d^{*}d} ここに d {\displaystyle d} は外微分形式、 d ∗ = − ( − 1 ) n k ⋆ d ⋆ {\displaystyle d^{*}=-(-1)^{nk}\star d\star } とする。さらに X がケーラーであれば、 d {\displaystyle d} と d ∗ {\displaystyle d^{*}} は次のように分解される。 d = ∂ + ∂ ¯ , d ∗ = ∂ ∗ + ∂ ¯ ∗ {\displaystyle d=\partial +{\bar {\partial }},\ \ \ \ d^{*}=\partial ^{*}+{\bar {\partial }}^{*}} そして、別のラプラス作用素が定義できる。 Δ ∂ ¯ = ∂ ¯ ∂ ¯ ∗ + ∂ ¯ ∗ ∂ ¯ , Δ ∂ = ∂ ∂ ∗ + ∂ ∗ ∂ {\displaystyle \Delta _{\bar {\partial }}={\bar {\partial }}{\bar {\partial }}^{*}+{\bar {\partial }}^{*}{\bar {\partial }},\ \ \ \ \Delta _{\partial }=\partial \partial ^{*}+\partial ^{*}\partial } は、次の満たす。 Δ d = 2 Δ ∂ ¯ = 2 Δ ∂ {\displaystyle \Delta _{d}=2\Delta _{\bar {\partial }}=2\Delta _{\partial }} これらの事実より、次のホッジ分解が得られる。（ホッジ理論を参照） H r = ⨁ p + q = r H p , q {\displaystyle \mathbf {H^{r}} =\bigoplus _{p+q=r}\mathbf {H} ^{p,q}} ここに H r {\displaystyle \mathbf {H^{r}} } は r-次調和形式 であり、 H p , q {\displaystyle \mathbf {H} ^{p,q}} は X 上の {p,q}-次調和形式とする。すなわち、微分形式 α {\displaystyle \alpha } が調和形式であることと、各々の α i , j {\displaystyle \alpha ^{i,j}} が{i,j}-次の調和形式に属することとは同値である。 さらに、X がコンパクトであれば、 H p ( X , Ω q ) ≃ H ∂ ¯ p , q ( X ) ≃ H p , q {\displaystyle H^{p}(X,\Omega ^{q})\simeq H_{\bar {\partial }}^{p,q}(X)\simeq \mathbf {H} ^{p,q}} を得る。ここに H ∂ ¯ p , q ( X ) {\displaystyle H_{\bar {\partial }}^{p,q}(X)} は ∂ ¯ {\displaystyle {\bar {\partial }}} -調和コホモロジー群とする。このことは、 α {\displaystyle \alpha } が {p,q}-次の微分形式であれば、ドルボーの定理により、ただ一つの {p,q}-次調和形式が決定する。 h p , q = dim H p , q {\displaystyle h^{p,q}={\text{dim}}H^{p,q}} をホッジ数と呼ぶとすると、 b r = ∑ p + q = r h p , q , h p , q = h q , p , h p , q = h n − p , n − q . {\displaystyle b_{r}=\sum _{p+q=r}h^{p,q},\ \ \ \ h^{p,q}=h^{q,p},\ \ \ \ h^{p,q}=h^{n-p,n-q}.} が得られる。最初の左辺 br は r-番目のベッチ数であり、第二の等号はラプラス作用素 Δ d {\displaystyle \Delta _{d}} が実作用素 H p , q = H q , p ¯ {\displaystyle H^{p,q}={\overline {H^{q,p}}}} であることから来て、最後の等号はセール双対性から結果を得る。
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