ホッジ理論
ホッジ分解
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/01 02:15 UTC 版)
δ {\displaystyle \delta } を余微分（codifferential）とすると、微分形式 ω {\displaystyle \omega } は δ ω = 0 {\displaystyle \delta \omega =0} の時は余閉といい、また、ある微分形式 α {\displaystyle \alpha } に対して ω = δ α {\displaystyle \omega =\delta \alpha } であれば余完全という。ホッジ分解（Hodge decomposition）は、任意の k-形式が 3つのL2成分に分解できることを言っている。 ω = d α + δ β + γ . {\displaystyle \omega =d\alpha +\delta \beta +\gamma \ .} ここに γ {\displaystyle \gamma } は調和形式すなわち Δ γ = 0 {\displaystyle \Delta \gamma =0} である。このことは、完全形式と余完全形式は直交することから従う。従って、直交補空間は閉形式と余閉形式の両方の形式、つまり調和形式からなる。ここで、直交性は Ω k ( M ) {\displaystyle \Omega ^{k}(M)} 上の L2内積 ( α , β ) = ∫ M α ∧ ∗ β . {\displaystyle (\alpha ,\beta )=\int _{M}\alpha \wedge *\beta .} によって定義される。分解を正確に定義し証明するには、ソボレフ空間上で問題を定式化することが必要である。そこでの考え方は、ソボレフ空間が二乗可積分函数の考え方と微分の考え方の双方に対して自然な設定をもたらすことであり、これを使いコンパクト台が必要であるという制限のいくつかを克服することができる。
※この「ホッジ分解」の解説は、「ホッジ理論」の解説の一部です。
「ホッジ分解」を含む「ホッジ理論」の記事については、「ホッジ理論」の概要を参照ください。
- ホッジ分解のページへのリンク
