ヘルムホルツの定理とは何？わかりやすく解説 Weblio辞書

ヘルムホルツの定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/03 02:02 UTC 版)

ヘルムホルツの定理（ヘルムホルツのていり、英: Helmholtz's theorem）とは、ベクトル解析における定理の一つ。ヘルムホルツの定理により、任意のベクトル場を回転なしの場と発散なしの場に分解できることが示される。回転なしの場は元の場の波数空間における縦成分、発散なしの場は元の場の波数空間における横成分に対応し、ベクトル場をこれらの成分に分解することをヘルムホルツ分解 (Helmholtz's decomposition) と呼ぶ。定理の名はドイツの物理学者ヘルマン・フォン・ヘルムホルツに因む。

脚注

^ $\nabla\cdot V (k)e i k \cdot x = i k \cdot V (k) e i k \cdot x$ および $\nabla \times V (k)e i k \cdot x = i k \times V (k)e i k \cdot x$ に注意。この関係は指数関数の微分 $\partial α e i k \cdot x = ik α e i k \cdot x$ から直ちに得られる。ここで $\partial α$ は $α = x, y, z$ に対する偏微分である。

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1 ヘルムホルツの定理とは
2 ヘルムホルツの定理の概要
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ヘルムホルツの定理(流体力学)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/19 06:33 UTC 版)

「ケルビン・ストークスの定理」の記事における「ヘルムホルツの定理(流体力学)」の解説

本節では、ケルビンストークスの定理を、層状ベクトル場に適応することで、一つの定理を導き出す。この定理は、流体力学でヘルムホルツの定理この定理は、層状ベクトル場をよく特徴づけるが、ホモトピー論においても重要なものである。 Theorem 2-1 (Helmholtz's Theorem in Fluid Dynamics). 及び、藤本を参照のことU ⊆ R3 を開集合とし、 Fは、層状ベクトル場とする。さらに、区分的滑らかな曲線 c0, c1 : [0, 1] → Uを考える。このとき2変数関数 H : [0, 1] × [0, 1] → U が、 [TLH0] H 区分的になめらか [TLH1] H(t, 0) = c0 (t) for all t ∈ [0, 1], [TLH2] H(t, 1) = c1 (t) for all t ∈ [0, 1], [TLH3] H(0, s) = H(1, s) for all s ∈ [0, 1]. であるとき、以下が成り立つ。 ∫ c 0 F d c 0 = ∫ c 1 F d c 1 {\displaystyle \int _{c_{0}}\mathbf {F} d{c}_{0}=\int _{c_{1}}\mathbf {F} dc_{1}} 大変紛らわしいことに、例えばLawrence では、Theorem 2-1のc0 と c1 のような関係にあるような2曲線の関係は単に「ホモトピック」と呼ばれている。また、Theorem 2-1 のような H : [0, 1] × [0, 1] → U を、c0 と c1”の間のホモトピーと称している。保存力場を議論する文脈では、そのような本が多い。しかしながら、「ホモトピック」、「ホモトピー」という用語は、通常は、別の意味（より弱い条件のものを指す）で使われる。従って、ホモトピー、ホモトピックという言葉が、Theorem 2-1 の意味（[TLH3]を要請する）なのか、通常の意味なのかを区別する適切な言い方が、見当たらない。そこで、当座において区別を必要とする場合には、本記事に限った言い方として、Tube-like-Homotopy Tube-Homotopeという言い方を、Theorem 2-1 の意味であることを強調するために用いることにする。

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