分解の意味
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/03 02:02 UTC 版)
F L ( x ) = − ∇ ϕ ( x ) {\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {L} }(\mathbf {x} )=-\nabla \phi (\mathbf {x} )} (1) F T ( x ) = ∇ × A ( x ) {\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {T} }(\mathbf {x} )=\nabla \times \mathbf {A} (\mathbf {x} )} (2) とすると ∇ × F L ( x ) = rot F L ( x ) = 0 {\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} _{\mathrm {L} }(\mathbf {x} )=\operatorname {rot} \mathbf {F} _{\mathrm {L} }(\mathbf {x} )=\mathbf {0} } (3) ∇ ⋅ F T ( x ) = div F T ( x ) = 0 {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} _{\mathrm {T} }(\mathbf {x} )=\operatorname {div} \mathbf {F} _{\mathrm {T} }(\mathbf {x} )=0} (4) であり、元のベクトル場 F が渦なし (irrotational) のベクトル場 FL と発散なし (divergence free) のベクトル場 FT に分解されていることが分かる。 FL(x) は縦成分 (longitudinal component)、FT(x) は横成分 (transverse component) と呼ばれる。このことは、縦成分 FL(x) のフーリエ変換 ~FL(k) が波数ベクトルに対して平行であり、横成分 FT(x) のフーリエ変換 ~FT(k) が波数ベクトルに対して直交していることによる。 k ∥ F ~ L ( k ) {\displaystyle \mathbf {k} \parallel {\tilde {\mathbf {F} }}_{\mathrm {L} }(\mathbf {k} )} k ⊥ F ~ T ( k ) {\displaystyle \mathbf {k} \perp {\tilde {\mathbf {F} }}_{\mathrm {T} }(\mathbf {k} )} 注意しなければならないことは、これが波数空間上の性質であり、実空間上の性質ではないということである。 ベクトル場 V(x) のフーリエ変換は以下のように表される。 V ( x ) = 1 ( 2 π ) 3 ∫ e i k ⋅ x V ~ ( k ) d 3 k . {\displaystyle \mathbf {V} (\mathbf {x} )={\frac {1}{(2\pi )^{3}}}\int \mathrm {e} ^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }{\tilde {\mathbf {V} }}(\mathbf {k} )\mathrm {d} ^{3}\mathbf {k} .} (フーリエ変換) これを縦成分および横成分について行い、(3), (4) を適用すれば、次の関係が得られる。 0 = 1 ( 2 π ) 3 ∫ e i k ⋅ x i k × F ~ L ( k ) d 3 k , {\displaystyle \mathbf {0} ={\frac {1}{(2\pi )^{3}}}\int \mathrm {e} ^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }i\mathbf {k} \times {\tilde {\mathbf {F} }}_{\mathrm {L} }(\mathbf {k} )\mathrm {d} ^{3}\mathbf {k} ,} (5) ← (3) 0 = 1 ( 2 π ) 3 ∫ e i k ⋅ x i k ⋅ F ~ T ( k ) d 3 k . {\displaystyle 0={\frac {1}{(2\pi )^{3}}}\int \mathrm {e} ^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }i\mathbf {k} \cdot {\tilde {\mathbf {F} }}_{\mathrm {T} }(\mathbf {k} )\mathrm {d} ^{3}\mathbf {k} .} (6) ← (4) k に平行な ~FL(k) と k に直交する ~FT(k) はそれぞれ上記の式を満たす。すなわち、元のベクトル場のフーリエ変換 ~F(k) は波数 k に平行な成分 ~FL(k) と直交する成分 ~FT(k) に分解できることが分かる。なお ~FL(k), ~FT(k) は、 F ~ L ( k ) = ( k ^ ⋅ F ~ ( k ) ) k ^ {\displaystyle {\tilde {\mathbf {F} }}_{\mathrm {L} }(\mathbf {k} )=({\hat {\mathbf {k} }}\cdot {\tilde {\mathbf {F} }}(\mathbf {k} )){\hat {\mathbf {k} }}} F ~ T ( k ) = ( k ^ × F ~ ( k ) ) × k ^ {\displaystyle {\tilde {\mathbf {F} }}_{\mathrm {T} }(\mathbf {k} )=({\hat {\mathbf {k} }}\times {\tilde {\mathbf {F} }}(\mathbf {k} ))\times {\hat {\mathbf {k} }}} の関係を満たす。ここで ^k = k/|k| は波数 k の方向ベクトルである。
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