ホッジ双対性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/29 01:56 UTC 版)
詳細は「ホッジ双対」を参照 V を有限 n-次元とすると、内部積はベクトル空間の自然な同型 ⋀ k ( V ∗ ) ⊗ ⋀ n ( V ) → ⋀ n − k ( V ) {\displaystyle \textstyle \bigwedge ^{k}(V^{*})\otimes \bigwedge ^{n}(V)\to \bigwedge ^{n-k}(V)} を誘導する。幾何学的な設定で、（一次元ベクトル空間である）最高次外冪 ⋀n(V) のゼロでない元はしばしば体積要素と（あるいは多少紛らわしい用語だが orientation form とも）呼ばれる。体積要素 σ に関して上記の同型は α ∈ ⋀ k ( V ∗ ) ↦ i α σ ∈ ⋀ n − k ( V ) {\displaystyle \textstyle \alpha \in \bigwedge ^{k}(V^{*})\mapsto i_{\alpha }\sigma \in \bigwedge ^{n-k}(V)} によって明示的に与えられる。体積要素に加えて、ベクトル空間 V が V と V∗ を同一視する内積を備えているならば、得られる同型 ∗ : ⋀ k ( V ) → ⋀ n − k ( V ) {\displaystyle \textstyle *\colon \bigwedge ^{k}(V)\to \bigwedge ^{n-k}(V)} はホッジ双対、あるいは一般にはホッジ ∗-作用素と呼ばれる。∗-作用素とそれ自身の合成写像 ⋀k(V) → ⋀k(V) は常に恒等写像のスカラー倍である。ほとんどの応用においては、体積形式はそれが V のある正規直交基底の楔積であるという意味で内積と両立する。この場合は ∗ ∘ ∗ : ⋀ k ( V ) → ⋀ k ( V ) = ( − 1 ) k ( n − k ) + q I {\displaystyle \textstyle *\circ *\colon \bigwedge ^{k}(V)\to \bigwedge ^{k}(V)=(-1)^{k(n-k)+q}I} になっている。ここで I は恒等写像で、内積は計量符号数 (p , q) （プラスが p 個、マイナスが q 個）を持つ。
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