内部積
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/29 01:56 UTC 版)
「内部積（英語版）」も参照 V は有限次元とし、V∗ を V の双対空間とする。任意の α ∈ V∗ に対し、代数 ⋀(V) 上の反微分 i α : ⋀ k ( V ) → ⋀ k − 1 ( V ) {\displaystyle \textstyle i_{\alpha }\colon \bigwedge ^{k}(V)\to \bigwedge ^{k-1}(V)} が定義できる。この微分を α に関する内積あるいは内部積 (interior product) と呼ぶ。挿入作用素 (insertion operator) や α による縮約 (contraction) などということもある。 w ∈ ⋀k(V) とすると、w は V∗ から R への重線型写像であるから、k-重直積 V∗ × V∗ × ⋯ × V∗ における値によって定まる。V∗ の k − 1 個の元 u1, u2, …, uk−1 に対し、 ( i α w ) ( u 1 , u 2 , … , u k − 1 ) = w ( α , u 1 , u 2 , … , u k − 1 ) {\displaystyle (i_{\alpha }{\mathbf {w} })(u_{1},u_{2},\ldots ,u_{k-1})={\mathbf {w} }(\alpha ,u_{1},u_{2},\ldots ,u_{k-1})} が定義される。加えて、f が純スカラー（つまり、⋀0(V ) の元）であるときには iαf = 0 とする。
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