テンソル対の縮約
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/17 10:00 UTC 版)
（ベクトルと双対ベクトルに対する）基本の縮約演算をもう少し違ったやり方でテンソルの対に対して一般化することができる。テンソルの対 T, U に対してそれらのテンソル積 T ⊗ U はテンソルになるから、これが共変添字と反変添字をそれぞれ少なくとも一つ持てば縮約を行える。T がベクトルで U が双対ベクトルであるときには上で述べた基本の縮約にちょうど一致する。 抽象添字記法において、二つのテンソルの縮約は同じ項の因子として両者を併置 (juxtaposed) することで表される。これはテンソル積を複合テンソルを得るものとして実現するものである。この複合テンソルにおける二つの添字の縮約は、二つのテンソルの縮約を期待通りに実現する。 例えば、行列は第一添字に関して反変、第二添字に関して共変な (1, 1)-型テンソルとして表現することができる。一つの行列の成分が Λαβ でもう一つの行列の成分が Μβγ とすれば、それらの積は縮約 Λ α β M β γ = N α γ {\displaystyle \Lambda ^{\alpha }{}_{\beta }\mathrm {M} ^{\beta }{}_{\gamma }=\mathrm {N} ^{\alpha }{}_{\gamma }} で与えられる。これはテンソルの対の縮約の一つの例を与えている。 ベクトルと微分形式との内部積（英語版）も二つのテンソルの間の縮約の特別の場合である。
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