ケーラー多様体
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/07/28 09:24 UTC 版)
|
原文と比べた結果、この記事には多数の（または内容の大部分に影響ある）誤訳があることが判明しています。情報の利用には注意してください。
|
数学、特に微分幾何学において、ケーラー多様体（ケーラーたようたい、英: Kähler manifold）とは、複素構造、リーマン構造、シンプレクティック構造という３つが互いに整合性を持つ多様体である。ケーラー多様体 X 上には、ケーラーポテンシャルが存在し、X の計量に対応するレヴィ・チヴィタ接続が、標準直線束上の接続を引き起こす。
滑らかな射影代数多様体はケーラー多様体の重要な例である。小平埋め込み定理により、正の直線束を持つケーラー多様体は、常に射影空間の中へ双正則に埋め込むことができる。
ケーラー多様体の名前はドイツ人数学者エーリッヒ・ケーラー (Erich Kähler) にちなんでいる。
定義
ケーラー多様体は互いに整合性のある複数の構造を持つため，下記のような複数の観点からの定義方法がある。
シンプレクティック多様体として
ケーラー多様体とは、シンプレクティック多様体 
ケーラー多様体
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/19 05:20 UTC 版)
ケーラー多様体 X において、リッチ曲率は標準直線束の曲率形式を決定する (Moroianu 2007, Chapter 12) 。標準直線束とは、正則ケーラー微分の束の最高次外羃である。 κ = ∧ n Ω X {\displaystyle \kappa =\wedge ^{n}\Omega _{X}} X 上の計量に対応するレヴィ=チヴィタ接続は κ 上の接続を与える。この接続の曲率は、次のように定義される。 ρ ( X , Y ) = def Ric ( J X , Y ) {\displaystyle \rho (X,Y)\,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,\operatorname {Ric} (JX,Y)} ここで、J はケーラー多様体の構造により決定される接束上のは複素構造写像である。リッチ形式は2-閉形式である。そのコホモロジー類は、実定数因子の違いを除いて標準束の第一チャーン類であり、したがって、これはX の位相幾何にのみ依存し複素構造のホモトピーで類あり、この意味で（X がコンパクトであれば）X の位相幾何学的な不変量である。 逆に、リッチ形式はリッチテンソルにより次のように決定される。 Ric ( X , Y ) = ρ ( X , J Y ) {\displaystyle \operatorname {Ric} (X,Y)=\rho (X,JY)} 局所正則座標 zα においては、リッチ形式は次のように与えられる。 ρ = − i ∂ ∂ ¯ log det ( g α β ¯ ) {\displaystyle \rho =-i\partial {\overline {\partial }}\log \det(g_{\alpha {\overline {\beta }}})} ここで、 ∂ {\displaystyle \partial } はドルボー作用素であり、 g α β ¯ = g ( ∂ ∂ z α , ∂ ∂ z ¯ β ) {\displaystyle g_{\alpha {\overline {\beta }}}=g\left({\frac {\partial }{\partial z^{\alpha }}},{\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}{}^{\beta }}}\right)} である。リッチテンソルが零であるならば、標準束は平坦であり、構造群（英語版）は局所的に特殊線形群 SL(n, C) の部分群に縮約できる。しかし、ケーラー多様体は既に U(n) にホロノミー（英語版）を持っており、よってリッチ平坦なケーラー多様体の（制限）ホロノミーは SU(n) に含まれる。逆にいえば、2n-次元リーマン多様体の（制限）ホロノミーが SU(n) その多様体はリッチ平坦なケーラー多様体である (Kobayashi & Nomizu 1996, IX, §4)。
※この「ケーラー多様体」の解説は、「リッチテンソル」の解説の一部です。
「ケーラー多様体」を含む「リッチテンソル」の記事については、「リッチテンソル」の概要を参照ください。
- ケーラー多様体のページへのリンク
