エルミート形式とは? わかりやすく解説

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エルミート形式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2017/07/20 04:10 UTC 版)

数学線型代数学におけるエルミート積 (Hermitian product), エルミート半双線型形式 (Hermitian Sesqui­linear form) あるいは単にエルミート形式(エルミートけいしき、: Hermitian form)は、シャルル・エルミートに名を因む特別な種類の半双線型形式で、対称双線型形式の複素版にあたる。

複素線型空間 V とその上のエルミート形式 〈,〉 との組 (V,〈,〉), あるいは同じことだが対応する「二次形式」Q(z) = 〈z, z との組 (V, Q)エルミート空間(あるいはエルミート二次空間)と呼ぶ。

定義

V複素数 C 上のベクトル空間とすると、エルミート半双線型形式とは、写像 〈,〉: V × VC で以下を満たすものを言う: x, y, zV および aC は任意として

  1. 偏線型性: x, ay + z〉 = ax, y〉 + 〈x, z
  2. 偏半線型性: ax + y, z〉 = ax, z〉 + 〈y, z
  3. エルミート対称性: x, y〉 = y, x

ここに、上付きの横棒 複素共軛をとる演算を表す。

  • 引数の一方が線型で他方が半線型となるが、線型と半線型は上記と逆に仮定する流儀もある。
  • 条件 1, 2 はこの写像が半双線型となることを言うものであるが、実は条件 3 の仮定のもと 1 から 2, あるいは 2 から 1 が導かれるから、一方の条件は不要である。ここでは明確化のために両者を掲げてある。

エルミート半双線型形式は複素数体 C 上で意味を成す概念である(実数体 R 上では任意のエルミート半双線型形式が対称双線型形式になる)。複素線型空間(あるいは複素ヒルベルト空間)上の内積(エルミート内積)は非退化正定値のエルミート半双線型形式である。

より一般に、環上の加群 M に対して、係数環 R 上定義される任意の対合反自己同型英語版 σ に関する半双線型形式 〈,〉: M × MR がエルミートであるとは、x, y〉 = 〈y, xσ を満たすことを言う。さらに、ε は係数環の中心元として、ε-エルミートであるとは x, y〉 = εy, xσ となるときに言う[1]

エルミート二次形式

エルミート半双線型形式に対しても極化恒等式英語版が適用できる。従って、エルミート半双線型形式は対角成分における値 Q(z) = 〈z, z のみによって他の全ての値も決定される。この「二次形式」Q が常に実数値であることに注意せよ。実は与えられた半双線型形式がエルミートであることと、対応する二次形式が実数値であることとは同値になる。

標準形式

複素数ベクトル空間 Cn における

標準エルミート形式あるいは標準エルミート内積と呼ぶ。

関連項目

参考文献

  • 佐武, 一郎 『線型代数学』 裳華房、1974年

注釈

  1. ^  Nicolas Bourbaki: Algèbre (= Éléments de mathématique). Springer, Berlin 2007, ISBN 3-540-35338-0, 9, S. 49.

外部リンク


エルミート形式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/06/03 00:13 UTC 版)

半双線型形式」の記事における「エルミート形式」の解説

詳細は「エルミート形式」を参照 エルミート形式あるいは対称半双線型形式とは、半双線型形式 h: V × V → C であって h ( w , z ) = h ( z , w ) ¯ {\displaystyle h(w,z)={\overline {h(z,w)}}} を満たすものを言うCn 上の標準エルミート形式(「物理学」の規約第一変に関して線型第二引数に関して線型、に従うもの)は、 ⟨ w , z ⟩ = ∑ i = 1 n w ¯ i z i {\displaystyle \langle w,z\rangle =\sum _{i=1}^{n}{\bar {w}}_{i}z_{i}} で与えられるより一般に任意の複素ヒルベルト空間上の内積はエルミート形式である。 エルミート形式を備えたベクトル空間 (V,h) をエルミート空間と言う。 V が有限次元空間のとき、V の任意の基底 {ei} に関して、エルミート形式 h はエルミート行列 H によって h ( w , z ) = w ¯ T H z {\displaystyle h(w,z)={\bar {\mathbf {w} }}^{T}H\mathbf {z} } と表現される。ただし、w, z はこの基底に関して w, z を表現するベクトルであり、行列 H = (hij) の成分hij = h(ei, ej) で与えられる。 エルミート形式に付随する二次形式 Q(z) = h(z,z) は常に実である。実際には、半双線型形式エルミートであることと、それに付随する二次形式任意の z ∈ V に対して実となることが同値であることが示せる。

※この「エルミート形式」の解説は、「半双線型形式」の解説の一部です。
「エルミート形式」を含む「半双線型形式」の記事については、「半双線型形式」の概要を参照ください。

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