エルミート形式
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数学の線型代数学におけるエルミート積 (Hermitian product), エルミート半双線型形式 (Hermitian Sesquilinear form) あるいは単にエルミート形式（エルミートけいしき、英: Hermitian form）は、シャルル・エルミートに名を因む特別な種類の半双線型形式で、対称双線型形式の複素版にあたる。
- ^ Nicolas Bourbaki: Algèbre (= Éléments de mathématique). Springer, Berlin 2007, ISBN 3-540-35338-0, 9, S. 49.
- 1 エルミート形式とは
- 2 エルミート形式の概要
- 3 参考文献
エルミート形式
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詳細は「エルミート形式」を参照 エルミート形式あるいは対称半双線型形式とは、半双線型形式 h: V × V → C であって h ( w , z ) = h ( z , w ) ¯ {\displaystyle h(w,z)={\overline {h(z,w)}}} を満たすものを言う。Cn 上の標準エルミート形式（「物理学」の規約、第一変数に関して反線型で第二引数に関して線型、に従うもの）は、 ⟨ w , z ⟩ = ∑ i = 1 n w ¯ i z i {\displaystyle \langle w,z\rangle =\sum _{i=1}^{n}{\bar {w}}_{i}z_{i}} で与えられる。より一般に、任意の複素ヒルベルト空間上の内積はエルミート形式である。 エルミート形式を備えたベクトル空間 (V,h) をエルミート空間と言う。 V が有限次元空間のとき、V の任意の基底 {ei} に関して、エルミート形式 h はエルミート行列 H によって h ( w , z ) = w ¯ T H z {\displaystyle h(w,z)={\bar {\mathbf {w} }}^{T}H\mathbf {z} } と表現される。ただし、w, z はこの基底に関して w, z を表現するベクトルであり、行列 H = (hij) の成分は hij = h(ei, ej) で与えられる。 エルミート形式に付随する二次形式 Q(z) = h(z,z) は常に実である。実際には、半双線型形式がエルミートであることと、それに付随する二次形式が任意の z ∈ V に対して実となることが同値であることが示せる。
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