数ベクトル空間
数ベクトル空間
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/01/02 17:04 UTC 版)
n 次元実数ベクトル空間 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} とは、集合としては R n = { ( x 1 ⋮ x n ) | x 1 , ⋯ , x n ∈ R } {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}=\left\{\left.\left({\begin{matrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\\\end{matrix}}\right)\ \left|{\begin{matrix}x_{1},\cdots ,{{x}_{n}}\in \mathbb {R} \\\end{matrix}}\right.\right\}\right.} (1-2) である。つまり n 個の実数 x 1 , ⋯ , x n {\displaystyle {{x}_{1}}\ ,\ \cdots \ ,\ {{x}_{n}}} を用いて ( x 1 ⋮ x n ) {\displaystyle \left({\begin{matrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\\\end{matrix}}\right)} (1-3) の形で表せるもの全てを集めてきたものである。特に、以下で定まる e i {\displaystyle \mathbf {e} _{i}} を、第 i 標準ベクトルという。 e 1 = ( 1 ⋮ 0 ) , ⋯ , e n = ( 0 ⋮ 1 ) {\displaystyle \mathbf {e} _{1}=\left({\begin{matrix}1\\\vdots \\0\\\end{matrix}}\right),\ \cdots ,\mathbf {e} _{n}=\left({\begin{matrix}0\\\vdots \\1\\\end{matrix}}\right)} (1-8) である。
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数ベクトル空間
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/22 00:46 UTC 版)
体 F 上のベクトル空間のもっとも簡単な例は体 F 自身（に、その標準的な加法と乗法を考えたもの）である。これはふつう Fn と書かれる数ベクトル空間 (英: coordinate space ) の n = 1 の場合である。この数ベクトル空間の元は n-組（長さ n の数列）: (a1, a2, ..., an) で、各 ai が F の元であるようなものである。F = R かつ n = 2 の場合が上記の導入節で論じたものとなる。
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