ベクトル空間
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数学、特に線型代数学におけるベクトル空間（ベクトルくうかん、英: vector space）、または、線型空間（せんけいくうかん、英: linear space）は、ベクトル（英: vector）と呼ばれる元からなる集まりの成す数学的構造である。
注釈
- ^ ここではベクトルをスカラーから区別するために、ベクトルは太字で表す。あるいは、特に物理学で、矢印を上に載せる記法も広く用いられる。「ベクトルをラテンアルファベットで表し、スカラーはグリークアルファベット（ギリシャ文字）で表す」などの流儀や、場合によってはまったく文字種の区別をしないこともある。
- ^ この公理は演算の結合性を仮定するものではない。ここでは二種類の乗法、つまりスカラーの乗法 bv と体の乗法 ab との関係性を考えているからである。
- ^ 文献によっては（例えば Brown 1991）係数体を R か C に制限するものあるが、理論の大部分は変更なしに任意の体上で成り立つものである
- ^ 例えば、（無数に存在する）区間の指示函数はどれも線型独立である。
- ^ この術語は、「自身の」とか「固有の」という意味のドイツ語 „eigen“ に由来する。
- ^ Roman 2005, p. 140, ch. 8. ジョルダン・シュバレー分解も参照。
- ^ 書籍によっては（Roman 2005など）この同値関係から話を始めて、それを使って V/W の具体形を導き出す形をとるものもある
- ^ この仮定からは、得られる位相が一様構造を持つことが導かれる。Bourbaki 1989, ch. II
- ^ |•|p に関する三角不等式はミンコフスキーの不等式から得られる。技術的な理由から、この文脈ではほとんど至る所一致する函数は互いに同一視する。こうすれば上記の「ノルム」は半ノルムなだけでなく本当にノルムを与える。
- ^ 「L2 に属する多くの函数はルベーグ測度が有界でなく、古典的なリーマン積分では積分することができない。故にリーマン可積分函数の空間は L2-ノルムに関して完備にならず、また それらに対する直交分解も適用できない。これはルベーグ積分の優位性を示すものである」Dudley 1989, p. 125, sect. 5.3
- ^ p ≠ 2 のとき Lp(Ω) はヒルベルト空間でない。
- ^ ヒルベルト空間の基底というのは、既に述べた線型代数学的な意味での基底と同じものを意味しない。区別のためには、後者はハメル基底と呼ばれる。
- ^ フーリエ級数は周期的だが、この手法は任意の区間上の L2-函数に対して、函数を区間の外側へ周期的に延長することによって適用できる。Kreyszig 1988, p. 601
- ^ これは BSE-3 2001 が言うには、接点 P を通る平面であって、曲面上の点 P1 とこの平面との距離が、曲面に沿って P1 を P に近づけた極限での P1 と P との距離よりも無限に小さいようなものである。
- ^ つまり、π−1(U) から V × U への準同型で、その制限がファイバーの間の同型となるものが存在する。
- ^ S1 の接束のような線束が自明となる必要十分条件は、至る所消えていない切断が存在することである（Husemoller 1994, Corollary 8.3 を参照）。接束の切断というのは、ベクトル場に他ならない。
出典
- ^ Roman 2005, p. 27, ch. 1.
- ^ “ベクトル空間とは、集合 V と次の公理 (A1)-(A4) と (M1)-(M4) を満たす写像 +: V × V → V, ◦: R × V → V からなる三組 (V, +, ◦) である。” 名古屋大学『線形代数学 IⅠ 授業1: ベクトル空間』2014年。
- ^ van der Waerden 1993, Ch. 19.
- ^ Bourbaki 1998, Section II.1.1. ブルバキは群準同型 f(a) を「相似」(英: homothety ) と総称している。
- ^ Bourbaki 1969, pp. 78–91, ch. « Algèbre linéaire et algèbre multilinéaire ».
- ^ Bolzano 1804.
- ^ Möbius 1827.
- ^ Hamilton 1853.
- ^ Grassmann 2000.
- ^ Peano 1888, ch. IX.
- ^ Banach 1922.
- ^ Dorier 1995; Moore 1995
- ^ Lang 1987, ch. I.1.
- ^ Lang 2002, ch. V.1.
- ^ 例えば Lang 1993, p. 335, ch. XII.3.
- ^ Lang 1987, ch. IX.1.
- ^ Lang 1987, ch. VI.3..
- ^ “ベクトル空間 V が V の有限個のベクトルの組で生成されるか, または {0} のとき, V は 有限次元 (又は有限生成) であるといい” 東京工業大学『基底の存在と次元』2013年。
- ^ “有限次元 ... そうでないとき 無限次元 であるという” 東京工業大学『基底の存在と次元』2013年。
- ^ Lang 1987, pp. 47–48, ch. II.2..
- ^ Roman 2005, p. 43, Theorem 1.9.
- ^ Blass 1984.
- ^ Halpern 1966, pp. 670–673.
- ^ Artin 1991, Theorem 3.3.13.
- ^ Braun 1993, p. 291, Th. 3.4.5.
- ^ Stewart 1975, p. 52, Proposition 4.3.
- ^ Stewart 1975, p. 74, Theorem 6.5.
- ^ Roman 2005, p. 45, ch. 2.
- ^ Lang 1987, p. 106, ch. IV.4, Corollary.
- ^ Lang 1987, Example IV.2.6.
- ^ Lang 1987, ch. VI.6.
- ^ Halmos 1974, p. 28, Ex. 9.
- ^ Lang 1987, p. 95, Theorem IV.2.1.
- ^ Roman 2005, p. 49, Th. 2.5, 2.6.
- ^ Lang 1987, ch. V.1.
- ^ Lang 1987, p. 106, ch. V.3., Corollary.
- ^ Lang 1987, p. 198, Theorem VII.9.8.
- ^ Roman 2005, pp. 135–156, ch. 8.
- ^ Lang 1987, ch. IX.4.
- ^ Roman 2005, p. 29, ch. 1.
- ^ Roman 2005, p. 35, ch. 1.
- ^ Roman 2005, p. 64, ch. 3.
- ^ Lang 1987, ch. IV.3..
- ^ Roman 2005, p. 48, ch. 2.
- ^ Mac Lane 1998.
- ^ Roman 2005, pp. 31–32, ch. 1.
- ^ Lang 2002, ch. XVI.1.
- ^ Roman 2005, Th. 14.3. 米田の補題も参照。
- ^ Schaefer & Wolff 1999, pp. 204–205.
- ^ Bourbaki 2004, p. 48, ch. 2.
- ^ Roman 2005, ch. 9.
- ^ Naber 2003, ch. 1.2.
- ^ Treves 1967.
- ^ Bourbaki 1987.
- ^ Kreyszig 1989, §4.11-5.
- ^ Kreyszig 1989, §1.5-5.
- ^ Choquet 1966, Proposition III.7.2.
- ^ Treves 1967, pp. 34–36.
- ^ Lang 1983, p. 69, Cor. 4.1.2.
- ^ Treves 1967, ch. 11.
- ^ Treves 1967, p. 102, Theorem 11.2.
- ^ Evans 1998, ch. 5.
- ^ Treves 1967, ch. 12.
- ^ Dennery & Krzywicki 1996, p. 190.
- ^ Lang 1993, p. 349, Th. XIII.6.
- ^ Lang 1993, Th. III.1.1.
- ^ Choquet 1966, Lemma III.16.11.
- ^ Kreyszig 1999, Chapter 11.
- ^ Griffiths 1995, Chapter 1.
- ^ Lang 1993, ch. XVII.3.
- ^ Lang 2002, p. 121, ch. III.1.
- ^ Eisenbud 1995, ch. 1.6.
- ^ Varadarajan 1974.
- ^ Lang 2002, ch. XVI.7.
- ^ Lang 2002, ch. XVI.8.
- ^ Luenberger 1997, Section 7.13.
- ^ representation theory および群論を参照。
- ^ Lang 1993, Ch. XI.1.
- ^ Evans 1998, Th. 6.2.1.
- ^ Folland 1992, p. 349 ff.
- ^ Gasquet & Witomski 1999, p. 150.
- ^ a b Gasquet & Witomski 1999, §4.5.
- ^ Gasquet & Witomski 1999, p. 57.
- ^ Loomis 1953, Ch. VII.
- ^ Ashcroft & Mermin 1976, Ch. 5.
- ^ Kreyszig 1988, p. 667.
- ^ Fourier 1822.
- ^ Gasquet & Witomski 1999, p. 67.
- ^ Ifeachor & Jervis 2002, pp. 3–4, 11.
- ^ Wallace 1992.
- ^ Ifeachor & Jervis 2002, p. 132.
- ^ Gasquet & Witomski 1999, §10.2.
- ^ Ifeachor & Jervis 2002, pp. 307–310.
- ^ Gasquet & Witomski 1999, §10.3.
- ^ Schönhage & Strassen 1971.
- ^ a b Spivak 1999, ch. 3.
- ^ Jost 2005. ローレンツ多様体も参照。
- ^ Misner, Thorne & Wheeler 1973, ch. 1.8.7, p. 222 and ch. 2.13.5, p. 325.
- ^ Jost 2005, ch. 3.1.
- ^ Varadarajan 1974, ch. 4.3, Theorem 4.3.27.
- ^ Kreyszig 1991, p. 108, §34.
- ^ Eisenberg & Guy 1979.
- ^ Atiyah 1989.
- ^ Artin 1991, ch. 12.
- ^ Meyer 2000, p. 436, Example 5.13.5.
- ^ Meyer 2000, p. 442, Exercise 5.13.15–17.
- ^ Coxeter 1987.
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