実係数の場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/09/06 10:18 UTC 版)
詳細は「幾何代数（英語版）」を参照 実クリフォード代数の幾何学的解釈は幾何代数（英語版）として知られている。 有限次元実ベクトル空間上のすべての非退化2次形式は標準対角形式 Q ( v ) = v 1 2 + ⋯ + v p 2 − v p + 1 2 − ⋯ − v p + q 2 {\displaystyle Q(v)=v_{1}^{2}+\cdots +v_{p}^{2}-v_{p+1}^{2}-\cdots -v_{p+q}^{2}} に同値である、ただし n = p + q はベクトル空間の次元である。整数の組 (p, q) は二次形式の符号数と呼ばれる。この二次形式を持った実ベクトル空間はしばしば Rp,q と表記される。Rp,q 上のクリフォード代数は Cℓp,q(R) と表記される。記号 Cℓn(R) は著者が正定値と不定値の空間どちらを好むかによって Cℓn,0(R) あるいは Cℓ0,n(R) を意味する。 Rp,q の標準正規直交基底 (ei) は互いに直交する n = p + q 個のベクトルからなり、そのうち p 個はノルム +1 を持ち、q 個はノルム −1 を持つ。代数 Cℓp,q(R) は従って平方して +1 になる p 個のベクトルと平方して −1 になる q 個のベクトルを持つ。 Cℓ0,0(R) は自然に R に同型であることに注意する。0 でないベクトルはないからである。Cℓ0,1(R) は平方して −1 になるただ 1 つのベクトル e1 によって生成される 2 次元の代数なので複素数体 C に同型である。代数 Cℓ0,2(R) は {1, e1, e2, e1e2} によって張られる 4 次元の代数である。後ろ 3 つの元は平方して −1 になりすべて反交換するので、代数は四元数体 H に同型である。Cℓ0,3(R) は 分解型双四元数（英語版）と呼ばれる直和 H ⊕ H に同型な 8 次元の代数である。
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実係数の場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/29 01:54 UTC 版)
実数体上の空間を考える場合には、もう少し詳しく述べることができる。{e1, …, en} を直交基底とする。 新たな直交基底 {e′1, …, e′n} を e i ′ = { e i if b ( e i , e i ) = 0 e i / + b ( e i , e i ) if b ( e i , e i ) > 0 e i / − b ( e i , e i ) if b ( e i , e i ) < 0 {\displaystyle e'_{i}={\begin{cases}e_{i}&{\text{if }}b(e_{i},e_{i})=0\\e_{i}/{\sqrt {+b(e_{i},e_{i})}}&{\text{if }}b(e_{i},e_{i})>0\\e_{i}/{\sqrt {-b(e_{i},e_{i})}}&{\text{if }}b(e_{i},e_{i})<0\end{cases}}} で定義すると、新たな表現行列 B は対角線上に 0, +1, −1 のみを成分に持つ対角行列になる。0 が現れるのは、根基が非自明となるときであり、かつそのときに限る。
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