ベクトル空間の次元

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次元 (ベクトル空間)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/12/01 03:59 UTC 版)

数学における、ベクトル空間の次元（じげん、英: dimension）とは、その基底の濃度、すなわち基底に属するベクトルの個数である。 他の種類の次元（たとえばヒルベルト次元）との区別のため、ハメル次元または代数次元と呼ばれることもある。この定義は「任意のベクトル空間は（選択公理を仮定すれば）基底を持つ」ことと「一つのベクトル空間の基底は、どの二つも必ず同じ濃度を持つ」という二つの事実に依存しており、これらの事実の結果として、ベクトル空間の次元は空間に対して一意的に定まる。体 F 上のベクトル空間 V の次元を dim_F(V) あるいは [V : F] で表す（文脈から基礎とする体 F が明らかならば単に dim(V) と書く）。

ベクトル空間 V が有限次元であるとは、その次元が有限値であるときにいう。

例

ベクトル空間 R³ は

$\left\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\right\}$

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ベクトル空間の次元

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/29 02:28 UTC 版)

「次元 (数学)」の記事における「ベクトル空間の次元」の解説

詳細は「次元 (ベクトル空間)」を参照 ベクトル空間の次元はその空間の基底ベクトルの数（つまり、その空間の任意のベクトルを指定するのに必要な座標の数）である。この基底の濃度としての次元の概念は、他の次元の概念と峻別する目的で、線型次元などとも呼ばれる。