ベクトル空間内の凸集合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/05/06 09:21 UTC 版)
S は実数体（あるいはより一般に適当な順序体）上のベクトル空間とする。ユークリッド空間はその例である。S 内の集合 C が凸であるとは、任意の x, y ∈ C および任意の t ∈ [0, 1] に対し、点 (1 − t)x + ty もまた C に属することをいう。即ち、x と y とを結ぶ線分上の各点が C に属する。これにより、実または複素位相線型空間における凸集合は弧状連結、したがって連結であることが従う。 さらに、C が狭義凸 (strictly convex) であるとは、x と y とを結ぶ線分上の各点が端点を除き C の内部に含まれるときにいう。 集合 C が絶対凸とは、それが凸かつ均衡であるときにいう。 実数全体の成す集合 R の凸部分集合とは、単に R の区間のことである。ユークリッド平面の凸部分集合の例には、中身のつまった正多角形、中身のつまった三角形、中身のつまった三角形の交わり、などが挙げられる。三次元ユークリッド空間の凸部分集合の例にはアルキメデスの立体、プラトンの立体などが挙げられる。ケプラー・ポアンソ多面体は非凸集合の例である。
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