ベクトル解析における記法
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/06 08:11 UTC 版)
「微分の記法」の記事における「ベクトル解析における記法」の解説
ベクトル解析は空間ベクトルの解析に多用され、場の理論、電磁気学等で有用な解析手法である。ここでは特化された微分の記法が用いられるが、極めて記号的な計算を可能とする。ここでは三次元ユークリッド空間の例を示す。3次元ユークリッド空間上での 直交座標系 o-xyz においてベクトル場 A を A = ( A x , A y , A z ) {\displaystyle \mathbf {A} =(\mathbf {A} _{x},\mathbf {A} _{y},\mathbf {A} _{z})} 、スカラー場 φ を φ = f ( x , y , z ) {\displaystyle \varphi =f(x,y,z)\,} とする。 まず微分演算子 (ハミルトン演算子) としてナブラ記号 ∇ {\displaystyle \nabla } を記号的に定める。ここで記号的にとは、∇ をベクトルとして扱い、要素の偏微分記述が通常の項のように被演算項として扱われることを意味している。 ∇ = ( ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z ) {\displaystyle \nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)} これによりベクトル解析で繁用される微分操作が次のように非常に簡易かつ強力に書き記される。 ∇φ 勾配 (gradient): スカラー場 φ の勾配 g r a d φ = g r a d f ( x , y , z ) {\displaystyle \mathrm {grad} \,\varphi =\mathrm {grad} \,f(x,y,z)\,} は記号的に ∇ とスカラー場の積で表される。 g r a d φ = ( ∂ φ ∂ x , ∂ φ ∂ y , ∂ φ ∂ z ) {\displaystyle \mathrm {grad} \,\varphi =\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x}},{\frac {\partial \varphi }{\partial y}},{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\right)} = ( ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z ) φ {\displaystyle =\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\varphi } = ∇ φ {\displaystyle =\nabla \varphi } ∇ · A 発散 (divergence) : A の発散 d i v A {\displaystyle \mathrm {div} \,\mathbf {A} \,} は、記号的に ∇ とベクトルの内積で表される。 d i v A = ∂ A x ∂ x + ∂ A y ∂ y + ∂ A z ∂ z {\displaystyle \mathrm {div\,} \mathbf {A} ={\partial A_{x} \over \partial x}+{\partial A_{y} \over \partial y}+{\partial A_{z} \over \partial z}} = ( ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z ) ⋅ A {\displaystyle =\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\cdot \mathbf {A} } = ∇ ⋅ A {\displaystyle =\nabla \cdot \mathbf {A} } ∇×A 回転 (rotation): ベクトル場 A の回転 r o t A {\displaystyle \mathrm {rot} \,\mathbf {A} \,} (または c u r l A {\displaystyle \mathrm {curl} \,\mathbf {A} \,} ) は、記号的に ∇ とベクトルの外積で表される。 r o t A = ( ∂ A z ∂ y − ∂ A y ∂ z , ∂ A x ∂ z − ∂ A z ∂ x , ∂ A y ∂ x − ∂ A x ∂ y ) {\displaystyle \mathrm {rot} \,\mathbf {A} =\left({\partial A_{z} \over {\partial y}}-{\partial A_{y} \over {\partial z}},{\partial A_{x} \over {\partial z}}-{\partial A_{z} \over {\partial x}},{\partial A_{y} \over {\partial x}}-{\partial A_{x} \over {\partial y}}\right)} = ( ∂ A z ∂ y − ∂ A y ∂ z ) i + ( ∂ A x ∂ z − ∂ A z ∂ x ) j + ( ∂ A y ∂ x − ∂ A x ∂ y ) k {\displaystyle =\left({\partial A_{z} \over {\partial y}}-{\partial A_{y} \over {\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\partial A_{x} \over {\partial z}}-{\partial A_{z} \over {\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\partial A_{y} \over {\partial x}}-{\partial A_{x} \over {\partial y}}\right)\mathbf {k} } = | i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z A x A y A z | {\displaystyle ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\[5pt]{\cfrac {\partial }{\partial x}}&{\cfrac {\partial }{\partial y}}&{\cfrac {\partial }{\partial z}}\\[12pt]A_{x}&A_{y}&A_{z}\end{vmatrix}}} = ∇ × A {\displaystyle =\nabla \times \mathbf {A} } ここに i, j, k は各軸に対する単位ベクトルの基底である。 ∇2φ ラプラシアン (Laplacian): スカラー場 φ {\displaystyle \varphi } のラプラシアンは記号的に ∇2 とスカラー場のスカラー積で表される。 ∂ 2 φ ∂ x 2 + ∂ 2 φ ∂ y 2 + ∂ 2 φ ∂ z 2 {\displaystyle {\partial ^{2}\varphi \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}\varphi \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2}\varphi \over \partial z^{2}}} = ( ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z ) ⋅ ( ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z ) φ = ∇ ⋅ ∇ φ {\displaystyle =\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\cdot \left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\varphi =\nabla \cdot \nabla \varphi \,} = ( ∂ 2 ∂ x 2 + ∂ 2 ∂ y 2 + ∂ 2 ∂ z 2 ) φ = ∇ 2 φ = Δ φ {\displaystyle =\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)\varphi =\nabla ^{2}\varphi =\Delta \varphi } ここで Δ = ∇ 2 {\displaystyle \Delta =\nabla ^{2}} をラプラスの演算子という。 ベクトル解析で用いられるこれらの微分記法は記号演算として非常に強力である。例えば通常のスカラー関数における積の微分公式 ( f g ) ′ = f ′ g + f g ′ {\displaystyle (fg)'=f'g+fg'\,} に対して、スカラー場 φ と ψ の積の勾配に関する積の微分公式は ∇ ( ϕ ψ ) = ( ∇ ϕ ) ψ + ϕ ( ∇ ψ ) {\displaystyle \nabla (\phi \psi )=(\nabla \phi )\psi +\phi (\nabla \psi )\,} のように全く同じ形式となる。
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