幾何学的解釈
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/11/12 19:31 UTC 版)
O(n, R) は Rn 上の等長変換全体からなる群であるユークリッドの運動群 E(n) において、原点を保つ変換からなる部分群である。このことから、直交群をユークリッドの運動群と一般線型群の共通部分として与えることができる: O(n, R) = E(n) ∩ GL(n, R). SO(n) は、原点が中心であるような(n − 1)次元球面 (特に n = 3 のとき通常の球面) および球対称なすべての図形の対称群となっている。 円 の対称群は O(2, R) である。向きを保つ部分群 SO(2, R) は円周群 T あるいは 1次元のユニタリ群 U(1) に（実リー群として）同型である。この同型写像は、U(1) の元 exp(φ i) = cos φ + i sin φ を以下の SO(2)の元に対応させる。 [ cos ϕ − sin ϕ sin ϕ cos ϕ ] . {\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos \phi &-\sin \phi \\\sin \phi &\cos \phi \end{bmatrix}}.}
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幾何学的解釈
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/14 00:44 UTC 版)
上で説明したように、ラッソ回帰は係数をゼロに設定できるが、表面的には類似しているように見えるリッジ回帰はできない。 これは、2つのケースでの制約境界の形状の違いによるものである。 ラッソ回帰とリッジ回帰の両方は、同じ目的関数を最小化すると解釈できる。 min β 0 , β { 1 N ‖ y − β 0 − X β ‖ 2 2 } {\displaystyle \min _{\beta _{0},\beta }\left\{{\frac {1}{N}}\left\|y-\beta _{0}-X\beta \right\|_{2}^{2}\right\}} ここで、制約条件が異なる。ラッソ回帰での制約条件は ‖ β ‖ 1 ≤ t {\displaystyle \|\beta \|_{1}\leq t} である。リッジ回帰での制約条件は ‖ β ‖ 2 2 ≤ t {\displaystyle \|\beta \|_{2}^{2}\leq t} である。 2次元のパラメータ空間（w1, w2）における制約領域を図示した。ラッソ回帰（L1-norm）では正方形に相当する（一般に n {\displaystyle n} 次元の正軸体 ）。リッジ回帰（L2-norm）では円に相当する（一般に n {\displaystyle n} 次元の超球面）。パラメータは制約条件としてパラメータ空間のこれらの領域を動いた中で、目的関数を最小化する値を取る。ラッソ回帰では、「角（かど）」が存在することで、特定の係数をゼロにした地点を選びやすくなる。
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幾何学的解釈
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/06 08:51 UTC 版)
弧状連結位相空間の基本群における共役類は自由ホモトピーのもとでの自由ループ（英語版）の同値類と考えることができる。
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幾何学的解釈
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/09/19 13:30 UTC 版)
正則な複素数値函数 f の芽を考えると、 f : ( C n , 0 ) → ( C , 0 ) . {\displaystyle f:(\mathbb {C} ^{n},0)\to (\mathbb {C} ,0)\ .} このようにすると、複素数 z 1 , … , z n {\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{n}} の n-個の組をとり、複素数の値 f ( z 1 , … , z n ) {\displaystyle f(z_{1},\ldots ,z_{n})} ととる。これを z := ( z 1 , … , z n ) {\displaystyle z:=(z_{1},\ldots ,z_{n})} と書くことにする。 第一階数(order)の偏微分 ∂ f / ∂ z 1 , … , ∂ f / ∂ z n {\displaystyle \partial f/\partial z_{1},\ldots ,\partial f/\partial z_{n}} が z = z 0 {\displaystyle z=z_{0}} ですべてゼロとなるときに、f は z 0 ∈ C n {\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} ^{n}} で特異であるという。名称が示唆しているように、 z 0 {\displaystyle z_{0}} の充分に小さな近傍 U ⊂ C n {\displaystyle U\subset \mathbb {C} ^{n}} が存在して、 z 0 {\displaystyle z_{0}} が U の中で唯一の特異点となるときに、特異点 z 0 ∈ C n {\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} ^{n}} は孤立していると言う。 z 0 {\displaystyle z_{0}} が特異点であり、かつ、次の式の第二階数(order)のすべての偏微分のヘッシアン（ヘッセ行列ともいう）が z 0 {\displaystyle z_{0}} でゼロ行列式であるときに、その点を退化している、あるいは f は退化特異点を持つと言う。 det ( ∂ 2 f ∂ z i ∂ z j ) 1 ≤ i ≤ j ≤ n z = z 0 = 0. {\displaystyle \det \left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial z_{i}\partial z_{j}}}\right)_{1\leq i\leq j\leq n}^{z=z_{0}}=0.} f が原点 0 で退化した特異点を持っていると仮定する。この退化特異点の多重度は、いくつの数の点が無限小に張り合わされているかと考えることにより得られる。ここである安定な方法での f の像を摂動させて、0 での孤立した退化特異点は非退化な孤立特異点に分離することができる！そのような孤立した非退化な特異点の数を、無限小に張り合わせた点の数である。 詳しくは、もうひとつ別の函数の芽 g を原点で非特異として、新しい函数の芽 h := f + εg を考える。ここで ε は充分に小さくとる。ε = 0 であれば、h = f である。函数 h のことを f のモース化（英語版）(morsification)と言う。h の特異点の計算は非常に難しく、実際、計算が無可能かもしれない。この無限小に貼り合わせることができるときの点の数、f の局所多重度は、正確に f のミルナー数に一致する。
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幾何学的解釈
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/02/09 03:01 UTC 版)
二次方程式 x 2 + b x = a {\displaystyle x^{2}+bx=a} を平方完成により解くことを考える。この過程を、面積図で表すと次のようになる。 x2 は一辺が x の正方形の面積、bx は縦横が b, x の長方形の面積に等しい。面積 bx の長方形を2等分割して、長さ x の辺で正方形と貼り合わせる。すると、正方形の角が欠けた形になる。 欠けている角に一辺が b/2 の正方形を補うと、全体が正方形になる。したがって、両辺に (b/2)2 を加えると、平方 (x + b/2)2 が完成する。
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幾何学的解釈
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/28 00:24 UTC 版)
クラメルの法則を幾何学的に解釈することもできて、それは証明や幾何学的な性質を詳しく見ることによって得られる。この幾何学的な論法は、以下に例示する二次元の場合のみならず、一般の場合においても通用する。 方程式系 a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2 {\displaystyle {\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}&=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}&=b_{2}\end{matrix}}} はベクトルの間の方程式 x 1 [ a 11 a 21 ] + x 2 [ a 12 a 22 ] = [ b 1 b 2 ] {\displaystyle x_{1}{\begin{bmatrix}a_{11}\\a_{21}\end{bmatrix}}+x_{2}{\begin{bmatrix}a_{12}\\a_{22}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\end{bmatrix}}} と見做すことができる。t(a1 1, a2 1) と t(a1 2, a2 2) の張る平行四辺形の面積は系の係数行列の行列式 | a 11 a 12 a 21 a 22 | {\displaystyle {\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}} で与えられる。一般に、変数と方程式を増やして、長さ n の n 本のベクトルを考えるとき、その行列式は n-次元ユークリッド空間においてそれらのベクトルが張る平行体 (parallelepiped) の容積 (volume) を与える。 従って、x1⋅t(a1 1, a2 1) と t(a1 2, a2 2) の張る平行四辺形の面積は、先ほどの面積の x1-倍である。この平行四辺形の面積は、カヴァリエリの原理により、x1⋅t(a11, a2 1) + x2⋅t(a1 2, a2 2) と t(a1 2, a2 2) の張る平行四辺形の面積に等しい。 最後とその前の平行四辺形の面積が等しいことは方程式 | b 1 a 12 b 2 a 22 | = | a 11 x 1 a 12 a 21 x 1 a 22 | = x 1 | a 11 a 12 a 21 a 22 | {\displaystyle {\begin{vmatrix}b_{1}&a_{12}\\b_{2}&a_{22}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}a_{11}x_{1}&a_{12}\\a_{21}x_{1}&a_{22}\end{vmatrix}}=x_{1}{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}} の成立を意味するが、これはクラメルの法則からも得られる。
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幾何学的解釈
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/04/10 14:06 UTC 版)
特殊線型群 SL(n, R) は、体積と向きを保つ Rn における線型変換のなす群として特徴付けられる。これは線型変換の行列式が、体積と向きの変化を測っていると解釈できることに対応している。
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幾何学的解釈
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/04/11 08:33 UTC 版)
「コーシーの平均値定理」の記事における「幾何学的解釈」の解説
幾何学的にはコーシーの平均値定理は曲線 { [ a , b ] → R 2 t ↦ ( f ( t ) , g ( t ) ) {\displaystyle {\begin{cases}[a,b]\to \mathbf {R} ^{2}\\[5pt]t\mapsto (f(t),g(t))\end{cases}}} のグラフの接線で、二点 (f(a), g(a)), (f(b), g(b)) を通る直線に平行なものが存在することを言うものである。ただし、定理は (f(a), g(a)), (f(b), g(b)) が相異なる全ての場合についてそのような接線が存在することまでは主張していない。それは f′(c) = g′(c) = 0 となるいくつかの c, つまり考えている曲線の停留点（そのような点では接線が全く存在しないかもしれない）でのみ等式が満足されるかもしれないからである。 そのような状況の例として、曲線 t ↦ ( t 3 , 1 − t 2 ) {\textstyle t\mapsto (t^{3},1-t^{2})} を考えれば、これは閉区間 [−1, 1] を点 (−1, 0) から (1, 0) までに写すが、この曲線は水平接線を決して持たない。それはこの曲線が t = 0 において停留点（実は尖点）を持つことによる。
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幾何学的解釈
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/04/19 18:20 UTC 版)
イデアル商は代数幾何において差集合と関係がある。正確に言うと、 W がアフィン多様体で V がその（多様体とは限らない）部分集合であれば、 I ( V ) : I ( W ) = I ( V ∖ W ) {\displaystyle I(V):I(W)=I(V\setminus W)} ただし I ( ∙ ) {\displaystyle I(\bullet )} は部分集合から定まるイデアルをとることを表す。 I と J が k[x1, ..., xn] のイデアル、ただし k は代数的閉体で I は根基イデアルであれば、 Z ( I : J ) = c l ( Z ( I ) ∖ Z ( J ) ) {\displaystyle Z(I:J)=\mathrm {cl} (Z(I)\setminus Z(J))} ただし c l ( ∙ ) {\displaystyle \mathrm {cl} (\bullet )} はザリスキ閉包を表し Z ( ∙ ) {\displaystyle Z(\bullet )} はイデアルによって定まる多様体をとることを表す。I が根基でなければ、イデアル J を saturate すれば同じ性質が成り立つ。 Z ( I : J ∞ ) = c l ( Z ( I ) ∖ Z ( J ) ) {\displaystyle Z(I:J^{\infty })=\mathrm {cl} (Z(I)\setminus Z(J))} ただし J ∞ = J + J 2 + ⋯ + J n + ⋯ {\displaystyle J^{\infty }=J+J^{2}+\cdots +J^{n}+\cdots } .
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