幾何学的量子化と非可換幾何学
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/27 21:21 UTC 版)
「シンプレクティック幾何学」の記事における「幾何学的量子化と非可換幾何学」の解説
幾何学的量子化の問題は多様体上の量子力学の構成という問題から始まったのであるが、空間の量子化を考える非可換幾何学とも深い関わりを持つ。非可換幾何の原点は次の事実であった： 定理： M , N {\displaystyle M,N} を滑らかな多様体であるとする。 M {\displaystyle M} と N {\displaystyle N} が微分同相であるための必要十分条件は、それらの上の可換な関数環 C ∞ ( M ) {\displaystyle C^{\infty }(M)} と C ∞ ( N ) {\displaystyle C^{\infty }(N)} が同型であることである。 この定理は、「多様体とはその上の可換な関数環のみで決まる。」と言い換えることができるであろう。だとするならば、多様体 M {\displaystyle M} の上に非可換な関数環 ( C ∞ ( M ) , ∗ ) {\displaystyle (C^{\infty }(M),*)} を構成でれば、それは非可換な多様体を構成したことと同じになるのではないか。これが非可換幾何学の精神である。非可換な関数環の構成の1つが、変形量子化である。 ( M , ω ) {\displaystyle (M,\omega )} をシンプレクティック多様体とし、 { ∙ , ∙ } {\displaystyle \{\bullet ,\bullet \}} でそのポアソン構造を表す。ポアソン構造 { ∙ , ∙ } {\displaystyle \{\bullet ,\bullet \}} によって、 C ∞ ( M ) {\displaystyle C^{\infty }(M)} はポアソン環になる。そのポアソン環 C ∞ ( M ) {\displaystyle C^{\infty }(M)} の形式的べき級数環を A [ [ ν ] ] = { ∑ n = 0 ∞ f n ν n | f n ∈ C ∞ ( M ) } {\displaystyle {\mathcal {A}}[[\nu ]]=\left\{\left.\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}\nu ^{n}\,\right|\,f_{n}\in C^{\infty }(M)\right\}} と書くことにする。 ν {\displaystyle \nu } は形式的なパラメータである。変形量子化とは、形式的べき級数環 A [ [ ν ] ] {\displaystyle {\mathcal {A}}[[\nu ]]} に以下の性質を満たす積 ∗ {\displaystyle *} を導入することである。 ν ∗ f = f ∗ ν , f ∈ A [ [ ν ] ] . {\displaystyle \nu *f=f*\nu ,\,\,\,\,f\in {\mathcal {A}}[[\nu ]].} f ∗ g = f g + ν { f , g } + O ( ν 2 ) , f , g ∈ A [ [ ν ] ] . {\displaystyle f*g=fg+\nu \{f,g\}+O(\nu ^{2}),\,\,\,\,f,g\in {\mathcal {A}}[[\nu ]].} このような非可換な関数環を構成できれば、それに対応する｢非可換な多様体｣が構成できたことになるであろう。 幾何学的量子化は非可換幾何学と関係があるといったが、それは次のような意味においてである。 ( M , ω ) {\displaystyle (M,\omega )} をシンプレクティック多様体とし、 ( H , Q ) {\displaystyle \,({\mathfrak {H}},Q)\,} をその幾何学的量子化とする。今、 C ∞ ( M ) {\displaystyle C^{\infty }(M)} 上に積 ∗ {\displaystyle *} を Q ( f ∗ g ) := Q ( f ) ∘ Q ( g ) , f , g ∈ C ∞ ( M ) {\displaystyle Q(f*g):=Q(f)\circ Q(g),\,\,\,\,\,f,g\in C^{\infty }(M)} で定める(この段階では f ∗ g {\displaystyle f*g} の存在は保証されていないが、ここでは気にせず議論を進めることにする)。するとこの積 ∗ {\displaystyle *} は C ∞ ( M ) {\displaystyle C^{\infty }(M)} に非可換な積を定めているはずであり、これにより多様体 M {\displaystyle M} の｢非可換化」がなされるであろう。つまり、幾何学的量子化は空間の量子化を行っている、とも思える。
※この「幾何学的量子化と非可換幾何学」の解説は、「シンプレクティック幾何学」の解説の一部です。
「幾何学的量子化と非可換幾何学」を含む「シンプレクティック幾何学」の記事については、「シンプレクティック幾何学」の概要を参照ください。
- 幾何学的量子化と非可換幾何学のページへのリンク
