幾何学的蛇行動
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/20 21:40 UTC 版)
蛇行動の基本的特性を考えるために、単体の輪軸がレールに沿って転がっている場合を考える。さらに、この輪軸の慣性を無視して車輪がレールに対して滑らないという仮定を置いて輪軸の動きを解析する。走行速度が非常に低い場合がこの仮定条件に近い。このような前提の輪軸の蛇行動を輪軸の幾何学的蛇行動と呼び、蛇行動の特性を考える上での基礎となる。 上記で説明した通り、車輪の踏面に勾配が存在する場合、輪軸が中立位置から偏ったとき、左右の車輪で回転半径が異なる。今、輪軸が一定の回転速度 θ ˙ {\displaystyle {\dot {\theta }}} で転がっているときに右側に横変位 y {\displaystyle y} が発生したとする。このとき右側車輪の前進速度 V R {\displaystyle V_{R}} と左側車輪の前進速度 V L {\displaystyle V_{L}} は以下のようになる。 V R = θ ˙ ( r + λ y ) , V L = θ ˙ ( r − λ y ) {\displaystyle V_{R}={\dot {\theta }}(r+\lambda y)\ ,\ V_{L}={\dot {\theta }}(r-\lambda y)} … (1) ここで、 r {\displaystyle r} :中立位置(両車輪で半径差が無くなる位置)での車輪半径、 λ {\displaystyle \lambda } :踏面勾配である。さらに、輪軸のヨーイング回転速度 ψ ˙ {\displaystyle {\dot {\psi }}} は、両側車輪の速度差と次のような関係がある。 ψ ˙ = − V R − V L 2 b {\displaystyle {\dot {\psi }}=-{\frac {V_{R}-V_{L}}{2b}}} … (2) ここで、 b {\displaystyle b} :中立位置での左右車輪接触点間隔の1/2（≒軌間の1/2）である。(2)式に(1)式を代入し、 ψ ˙ {\displaystyle {\dot {\psi }}} は次のように表すことができる。 ψ ˙ = − θ ˙ λ b y = − V λ r b y {\displaystyle {\dot {\psi }}=-{\frac {{\dot {\theta }}\lambda }{b}}y=-{\frac {V\lambda }{rb}}y} … (3) ここで、 V {\displaystyle V} ：中立位置での車輪前進速度で、輪軸全体の前進速度でもある。また、輪軸の左右変位速度 y ˙ {\displaystyle {\dot {y}}} とヨーイング角 ψ {\displaystyle \psi } は次のような関係がある。 y ˙ = V sin ψ {\displaystyle {\dot {y}}=V\sin \psi } … (4) ψ {\displaystyle \psi } を微小として近似すると、 y ˙ ≒ V ψ {\displaystyle {\dot {y}}\fallingdotseq V\psi } … (5) (5)式の両辺を時間微分して(3)式を代入すると、次のような1輪軸の幾何学的蛇行動における左右変位の運動方程式が得られる。 y ¨ + V 2 λ r b y = 0 {\displaystyle {\ddot {y}}+V^{2}{\frac {\lambda }{rb}}y=0} … (6) (6)式は正弦波による振動を表すので、その固有角周波数 ω {\displaystyle \omega } は ω = V λ r b {\displaystyle \omega =V{\sqrt {\frac {\lambda }{rb}}}} … (7) となり、輪軸の幾何学的蛇行動の波長 S 1 {\displaystyle S_{1}} は V {\displaystyle V} によらず一定となり、以下の式により表すことができる。 S 1 = 2 π b r λ {\displaystyle S_{1}=2\pi {\sqrt {\frac {br}{\lambda }}}} … (8) (8)式は1883年にクリンゲル(Klingel)によって初めて与えられた。波長が小さいほど振動が激しくなることから、「小さな車輪半径」「狭い軌間」「大きな踏面勾配」は蛇行動を増長させることがわかる。
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