シンプレクティック多様体

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シンプレクティック多様体

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/07/06 01:59 UTC 版)

数学におけるシンプレクティック多様体（シンプレクティックたようたい、symplectic manifold）は、シンプレクティック形式と呼ばれる非退化な閉形式である 2-形式を持つ滑らかな多様体である。シンプレクティック多様体の研究分野はシンプレクティック幾何学やシンプレクティックトポロジーと呼ばれる。シンプレクティック多様体は、古典力学の抽象的定式化であるハミルトン力学などにおいて多様体の余接バンドルとして自然に表れるもので、この分野に対して大きな動機付けを与えた。実際、系の取り得るすべての配位が成す集合を多様体としてモデル化すると、この多様体は系の相空間を記述する。

シンプレクティック多様体上の微分可能な実数値関数 H はエネルギー函数(energy function)を与えることができ、これをハミルトニアンと呼ぶ。どのようなハミルトニアンに対してもハミルトンベクトル場が対応付けられる。ハミルトンベクトル場の積分曲線はハミルトン方程式の解曲線になる。ハミルトンベクトル場は、シンプレクティック多様体上のフロー（ハミルトンフロー、あるいは、シンプレクティック同相写像と呼ばれる）を定め、リウヴィルの定理によれば、ハミルトンフローは相空間上の体積要素を保存する。

動機

シンプレクティック多様体上の幾何学、その動機である古典力学（解析力学）との関係は、シンプレクティック幾何学も参照のこと。

シンプレクティック多様体は古典力学から発生していて、特に閉じた系の相空間の一般化である。ハミルトン方程式が一組の微分方程式から系の時間発展を引き出せることと同じように、シンプレクティック形式からはハミルトン函数 H の微分である dH により系のフローを記述するベクトル場を得ることができる。ニュートンの運動方程式は線型微分方程式であるので、その写像も必然的に線型となる。従って、線型写像 T^* M → TM、(同じことであるが、 T^* M ⊗ T^* M の元)が必要となる。ω により T^* M ⊗ T^* M の切断を表すこととすると、ω が 非退化 であるということは、全ての微分 dH に対して一意にベクトル場 V_H が存在し、dH = ω(V_H,· ) を満たす。ハミルトニアンが積分曲線に沿って定数であることを要求するので、必然的に dH(V_H) = ω(V_H, V_H) = 0 を得る。このことは ω が 交代的 であり、従って 2-形式であることを意味する。結局、必然的に ω は積分曲線のもとで不変であることとなり、つまり、 ω の V_H に沿ったリー微分はゼロとなる。カルタンの公式(Cartan's formula)を適用して、次の式を得る。

${\mathcal {L}}_{V_{H}}(\omega )=d\omega (V_{H})=0$

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シンプレクティック多様体 (K, ω) のラグランジュ部分多様体 L がはめ込み(immersion) i : L ↪ K（この i を ラグランジュはめ込み という）によって与えられるものとし、 π: K ↠ B が K のラグランジュファイバー構造とすると、合成写像 (π ∘ i): L ↪ K ↠ B は ラグランジュ写像 と呼ばれる。このとき、 π ∘ i の境界値集合が焦線である。

二つのラグランジュ写像 (π₁ ∘ i₁): L₁ ↪ K₁ ↠ B₁ および (π₂ ∘ i₂): L₂ ↪ K₂ ↠ B₂ が互いに ラグランジュ同値 であるとは、微分同相写像 σ: L₁ → L₂, τ: K₁ → K₂, ν: B₁ → B₂ が存在して、二つのラグランジュ写像と可換、かつ τ がシンプレクティック形式を保つことを言う。式で書けば

$\tau \circ i_{1}=i_{2}\circ \sigma ,\quad \nu \circ \pi _{1}=\pi _{2}\circ \tau ,\quad \tau ^{*}\omega _{2}=\omega _{1}$

が満たされるということである。ただし、τ*ω₂ は ω₂ の τ による引き戻し(pullback)とする。

特殊化および一般化

• シンプレクティック多様体は、そのシンプレクティック形式が概複素多様体として両立する計量を持つならば、接束が概複素構造を持つ（が、必ずしも可積分でない）ことで概ケーラー多様体になる。シンプレクティック多様体はポアソン多様体の特別なものであり、シンプレクティック多様体の定義においてシンプレクティック形式が至る所で非退化であるという条件を外しても、ポアソン多様体であることは変わらない。
• 次数 k の多重シンプレクティック多様体 (multisymplectic manifold) とは、非退化な閉微分 k-形式を持つ多様体を言う。詳しくは(F. Cantrijn et al. 1999)を参照。
• 高次シンプレクティック多様体 (polysymplectic manifold) とは、高次シンプレクティック接空間に値をとる (n + 2)-形式から得られるラグランジュベクトル束を言い、ハミルトン場の理論で利用される。詳細は (G. Giachetta, L. Mangiarotti & G. Sardanashvily) を参照。
• 多重シンプレクティック多様体(polysymplectic manifold)は、多重シンプレクティックな接空間に値を持つ $(n+2)$-形式が容易されたルジャンドルバンドルである。これはハミルトニアンの場の理論に有益である。

関連項目

• シンプレクティック幾何学
• 概複素多様体
• 概シンプレクティック多様体
• 接触多様体 — シンプレクティック多様体の奇数次元版にあたるもの
• フェドソフ多様体
• ポアソン括弧
• シンプレクティック群
• シンプレクティック行列
• シンプレクティックトポロジー
• シンプレクティックベクトル空間
• シンプレクティック同相
• トートロジー1形式
• ヴィルティンガーの不等式 (2形式に関する)
• 共変ハミルトニアンの場の理論

参考文献

• Dusa McDuff and D. Salamon: Introduction to Symplectic Topology (1998) Oxford Mathematical Monographs, ISBN 0-19-850451-9.
• Ralph Abraham and Jerrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X See section 3.2.
• Maurice de Gosson: Symplectic Geometry and Quantum Mechanics (2006) Birkhäuser Verlag, Basel ISBN 3-7643-7574-4.
• Alan Weinstein (1971). “Symplectic manifolds and their lagrangian submanifolds”. Adv Math 6 (3): 329–46. doi:10.1016/0001-8708(71)90020-X. 
• Hitchin, Negel (1999). “LECTURES ON SPECIAL LAGRANGIAN SUBMANIFOLDS”. Studies in advanced mathematics.  On arxiv url=https://arxiv.org/abs/math/9907034
• 深谷賢治: シンプレクティック幾何学 岩波書店, 現代数学の展開 8, ISBN 4-00-010658-9

外部リンク

• Ü. Lumiste (2001) [1994], “Symplectic Structure”, Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Sardanashvily, G., Fibre bundles, jet manifolds and Lagrangian theory. Lectures for theoreticians,arXiv: 0908.1886
• Examples of symplectic manifolds - PlanetMath.org（英語）

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シンプレクティック多様体

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「体積形式」の記事における「シンプレクティック多様体」の解説

すべてのシンプレクティック多様体（あるいは、実際すべての概シンプレクティック多様体（英語版）(almost symplectic manifold)）は、自然な体積形式を持っている。M がシンプレクティック形式 ω を持つ 2n-次元多様体であれば、シンプレクティック形式の非退化性の結果、ωn はどこでも 0 にならない。この結果、すべてのシンプレクティック多様体は向き付け可能である（実際、向き付けがなされている）。多様体がシンプレクティック多様体で、かつ、リーマン多様体であれば、2つの体積形式は、多様体がケーラー多様体である場合に一致する。