シンプレクティック形式による定義とは? わかりやすく解説

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シンプレクティック形式による定義

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/03/06 15:26 UTC 版)

ポアソン括弧」の記事における「シンプレクティック形式による定義」の解説

ポアソン括弧前述した定義は正準座標 (q,p) に依存しているが、シンプレクティック形式 ω を使えば座標依存しない定義を以下のようにして得られる。(よって特に、ポアソン括弧シンプレクティック多様体上で定義できる。) 関数 f に対しX f {\displaystyle X_{f}} を d f ( ⋅ ) = ω ( X f , ⋅ ) {\displaystyle \mathrm {d} f(\cdot )=\omega (X_{f},\cdot )} ...(4) を満たす接ベクトルとするとき、ポアソン括弧 {f,g} は { f , g } = ω ( X f , X g ) {\displaystyle \{f,g\}=\omega (X_{f},X_{g})} により定義される。ここで d は外微分である。なお(4)を満たす X f {\displaystyle X_{f}} の存在は、シンプレクティック形式非退化である事と外積代数一般論から従う。この定義によるポアソン括弧前述の定義によるそれと一致する事は、シンプレクティック形式ダルブー座標直接書き表して見る事で簡単に証明できる。 また外積代数一般論から、ポアソン括弧は以下のようにも書き表す事ができる事が示せる: { f , g } = d f ( X g ) = − d g ( X f ) = X g ( f ) = − X f ( g ) {\displaystyle \{f,g\}=\mathrm {d} f(X_{g})=-\mathrm {d} g(X_{f})=X_{g}(f)=-X_{f}(g)} ...(5)

※この「シンプレクティック形式による定義」の解説は、「ポアソン括弧」の解説の一部です。
「シンプレクティック形式による定義」を含む「ポアソン括弧」の記事については、「ポアソン括弧」の概要を参照ください。

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