シンプレクティックフレアーホモロジーとは? わかりやすく解説

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シンプレクティックフレアーホモロジー

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/03/27 21:22 UTC 版)

フレアーホモロジー」の記事における「シンプレクティックフレアーホモロジー」の解説

シンプレクティックフレアーホモロジー (SFH略記する) は、シンプレクティック多様体とその上非退化なシンプレクティック写像と結びついたホモロジー論である。シンプレクティック写像ハミルトニアンであればホモロジーシンプレクティック多様体ループ空間(の普遍被覆の上のシンプレクティック作用英語版)の研究から出て来る。SFH はシンプレクティック写像のハミルトニアンイソトピー(英語版)では不変である。 ここで、非退化とは、どの固定点でもシンプレクティック写像の微分固有値には1がないことを意味し、この条件固定点孤立していないことを意味するSFHそのようなシンプレクティック写像固定点によって生成される鎖複体ホモロジーである。そこでは微分写像)が、実直線とシンプレクティック写像トーラス写像英語版)(mapping torus)の直積の中のある擬正則曲線英語版)を数え上げる。これ自体は元の多様体よりも2次元大きな次元シンプレクティック多様体で、概複素構造適当に選ぶと、その中の穴のあいた(有限エネルギーの)正則曲線は、シンプレクティック写像固定点対応する写像トーラスの中のループ漸近的に近づく円筒形端点持っている相対インデックス固定点ペア毎に定義され微分写像)は相対インデックス 1 を持つ正則シリンダーの数を数える。 コンパクト多様体のハミルトニアンシンプレクティック写像のシンプレクティック フレアーホモロジーは、基礎となっている多様体特異ホモロジー同型である。このようにして、その多様体ベッチ数の和が、非退化なシンプレクティック写像固定点の数に対すアーノルド予想一つバージョン予想される下界意味する。ハミルトニアンシンプレクティック写像SFHまた、量子コホモロジー同値変形されカップ積であるパンツペアの積を持っている。積のバージョンでは、完全でないハミルトニアンシンプレクティック写像に対して存在する多様体 M の余接バンドルについて、フレアーホモロジー非コンパクトであるために、ハミルトニアン選択依存している。無限遠点二乗になっているハミルトニアンに対してフレアーホモロジーは M の自由ループ空間特異ホモロジーになっている(このステートメントに対しては、様々なバージョンの証明がある。Viterboよるもの、Salamon-Weberによるもの、Abbondandolo-Schwarzによるもの、Cohenによるもの)。基礎となる多様体ループ空間ホモロジー上の位相的弦理論対応する余接バンドルフレアーホモロジーの上作用素は、さらに複雑になっている。 フレアーホモロジーのシンプレクティックバージョンは、ホモロジカルミラー対称性予想定式化の中で決定的な方法となっている。

※この「シンプレクティックフレアーホモロジー」の解説は、「フレアーホモロジー」の解説の一部です。
「シンプレクティックフレアーホモロジー」を含む「フレアーホモロジー」の記事については、「フレアーホモロジー」の概要を参照ください。

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