古典力学
古典力学
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/20 02:07 UTC 版)
古典力学では粒子（または粒子系）の運動はラグランジアン L ( q , q ˙ , t ) {\displaystyle L(q,{\dot {q}},t)} やそれと等価であるハミルトニアン H ( q , p , t ) {\displaystyle H(q,p,t)} によって完全に決定される。これらは一般化座標q、一般化速度 q ˙ = d q / d t {\displaystyle {\dot {q}}=\mathrm {d} q/\mathrm {d} t} 、共役運動量 p = ∂ L ∂ q ˙ {\displaystyle p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}} についての関数である。 LやHが一般化座標qと無関係であるときは、qが変化してもLやHは変化しない。よってqが変化しても粒子のダイナミクスは変わらないままであり、これらの座標に共役な運動量は保存する。（これはネーターの定理の一例で、座標qについての運動の不変性は対称性となる。）古典力学における演算子は、これらの対称性と関連している。 より専門的には、Hが変換Gの群の作用下で不変であるとき、 S ∈ G , H ( S ( q , p ) ) = H ( q , p ) {\displaystyle S\in G,H(S(q,p))=H(q,p)} . Gの元は物理的な演算子で、物理状態と対応する。
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古典力学
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/17 21:26 UTC 版)
「パリティ (物理学)」の記事における「古典力学」の解説
ニュートンの運動方程式 F = ma （質量が不変の場合）は二つのベクトルが等しいことを関連付け、それゆえパリティの下で不変である。重力の法則もまたベクトルのみを含み、それゆえパリティの下で不変である。しかしながら、角運動量L は軸性ベクトルである。 L = r × p, P(L) = (−r) × (−p) = L. 古典電気力学において、電荷密度 ρ はスカラー、電場 E および電流 j はベクトルであるが、磁場 H は軸性ベクトルである。しかしながら、軸性ベクトルの回転はベクトルであるので、マクスウェル方程式はパリティの下で不変である。
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古典力学
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/21 06:41 UTC 版)
力学においては、質点の持つエネルギーは運動エネルギーと位置エネルギーに分類される。運動エネルギーは粒子の運動量に依存するエネルギーで、ニュートン力学では K ( p ) := | p | 2 2 m = = p = m v 1 2 m | v | 2 {\displaystyle K({\boldsymbol {p}}):={\frac {\left|{\boldsymbol {p}}\right|^{2}\!\!}{2m}}\,{\overset {{\boldsymbol {p}}=m{\boldsymbol {v}}}{=\!=}}\,{\frac {1}{2}}m|{\boldsymbol {v}}|^{2}} と定義される。ここで K は運動エネルギー、p は運動量、m は質量、v は速度である。また、|·| は絶対値を表し、太字の量はベクトル量を表す。位置エネルギーは質点の位置に依存するエネルギーで、特に質点が持つ位置エネルギーは、その質点の位置を変数とする関数として定義される。位置エネルギーを表す文字としては、しばしば V や U、Φ や φ が用いられる。 粒子の持つエネルギーを一般化して、1 つの力学系に対してエネルギーを定義できる。運動エネルギーに関しては、各粒子が持つ運動エネルギーの和が系の運動エネルギーに対応する。 K ( p 1 , … , p N ) = ∑ i = 1 N | p i | 2 2 m i . {\displaystyle K({\boldsymbol {p}}_{1},\dots ,{\boldsymbol {p}}_{N})=\sum _{i=1}^{N}{\frac {|{\boldsymbol {p}}_{i}|^{2}\!\!}{2m_{i}}}.} ここで N は系の粒子数であり、pi は i 番目の粒子の運動量、mi は i 番目の粒子の質量である。位置エネルギーは、各粒子の位置を変数とする関数として定義される。多くの場合、位置エネルギーは 1 体のポテンシャルと 2 体のポテンシャルを用いて、 Φ ( r 1 , … , r N ) = { ∑ i = 1 N ϕ 1 ( r i ) } + { ∑ i < j ϕ 2 ( r i , r j ) } {\displaystyle \Phi ({\boldsymbol {r}}_{1},\dots ,{\boldsymbol {r}}_{N})=\left\{\sum _{i=1}^{N}\phi _{1}({\boldsymbol {r}}_{i})\right\}+\left\{\sum _{i<j}\phi _{2}({\boldsymbol {r}}_{i},{\boldsymbol {r}}_{j})\right\}} と書き表すことができる。ここで Φ は系の位置エネルギー、φ1 は 1 体のポテンシャル、φ2 は 2 体のポテンシャルであり、ri は i 番目の粒子の位置を表す。 力学において定義されるこれらのエネルギーの総和は、熱力学における定義と対比して、しばしば力学的エネルギーと呼ばれる。力学的エネルギーの変化量が、系が外界に対してなした仕事に等しい場合、「力学的エネルギーは保存している」と言い、これを力学的エネルギー保存則と呼ぶ。力学的エネルギーが保存しない系は、たとえば粒子に対して摩擦力が働く系や粒子が非弾性衝突をする系である。還元主義の立場では、このエネルギーの損失は、粒子やそれが運動する媒質などの内部自由度を記述し切れていないことに起因すると考えられている。 「力学的エネルギー」および「エネルギー保存の法則」も参照
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