ラグランジアン
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/04/04 14:11 UTC 版)
「オイラー＝ハイゼンベルク・ラグランジアン」の記事における「ラグランジアン」の解説
ハイゼンベルクとオイラーによって1936年に発表された論文においては以下のラグランジアンが導入された。 L = − F − 1 8 π 2 ∫ 0 ∞ d s s 3 exp ( − m e 2 s ) [ ( e s ) 2 Re cosh ( e s 2 ( F + i G ) ) Im cosh ( e s 2 ( F + i G ) ) G − 2 3 ( e s ) 2 F − 1 ] {\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\mathcal {F}}-{\frac {1}{8\pi ^{2}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {ds}{s^{3}}}\exp \left(-m_{e}^{2}s\right)\left[(es)^{2}{\frac {\operatorname {Re} \cosh \left(es{\sqrt {2\left({\mathcal {F}}+i{\mathcal {G}}\right)}}\right)}{\operatorname {Im} \cosh \left(es{\sqrt {2\left({\mathcal {F}}+i{\mathcal {G}}\right)}}\right)}}{\mathcal {G}}-{\frac {2}{3}}(es)^{2}{\mathcal {F}}-1\right]} ここで、meは電子の質量、eは素電荷である。さらに、 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} と G {\displaystyle {\mathcal {G}}} は、電場 E {\displaystyle \mathbf {E} } と磁場 B {\displaystyle \mathbf {B} } を用いて、 F ≡ 1 2 ( B 2 − E 2 ) {\displaystyle {\mathcal {F}}\equiv {\frac {1}{2}}\left(\mathbf {B} ^{2}-\mathbf {E} ^{2}\right)} G ≡ E ⋅ B {\displaystyle {\mathcal {G}}\equiv \mathbf {E} \cdot \mathbf {B} } と定義される。 電磁場が十分弱いときの極限において、上式は以下のように書き直せる。 L = 1 2 ( E 2 − B 2 ) + 2 α 2 45 m e 4 [ ( E 2 − B 2 ) 2 + 7 ( E ⋅ B ) 2 ] {\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {E} ^{2}-\mathbf {B} ^{2}\right)+{\frac {2\alpha ^{2}}{45m_{e}^{4}}}\left[\left(\mathbf {E} ^{2}-\mathbf {B} ^{2}\right)^{2}+7\left(\mathbf {E} \cdot \mathbf {B} \right)^{2}\right]} 第1項は電磁場（光子）の運動項であり、電磁場について2次の式となる。第2項は電磁場同士の相互作用を表し、電磁場について4次の式である。上式にさらに補正を加えて、6次以上の項を書くこともできる。式中のα＝e2/(4π)は微細構造定数であり、α2は光子の4点相互作用が存在することを意味する。 低エネルギー極限のラグランジアンはオイラーとKockelによって最初に導入されたが、これがオイラー＝ハイゼンベルク・ラグランジアンと呼ばれることもある。
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ラグランジアン
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/30 09:02 UTC 版)
( X , X ∗ ) {\displaystyle (X,X^{*})} と ( Y , Y ∗ ) {\displaystyle (Y,Y^{*})} を双対組とする。（f(x) を最小化する）主問題と、関連する摂動函数 (F(x,y)) が与えられたとき、ラグランジアン L : X × Y ∗ → R ∪ { + ∞ } {\displaystyle L:X\times Y^{*}\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}} は、F の y に関する負の共役（すなわち、凹共役）である。すなわち、ラグランジアンは次で定義される。 L ( x , − y ∗ ) = inf y ∈ Y { F ( x , y ) − y ∗ ( y ) } . {\displaystyle L(x,-y^{*})=\inf _{y\in Y}\left\{F(x,y)-y^{*}(y)\right\}.} 特に、弱双対ミニマックス方程式は次のように表される。 sup y ∗ ∈ Y ∗ − F ∗ ( 0 , y ∗ ) = sup y ∗ ∈ Y ∗ inf x ∈ X L ( x , y ∗ ) ≤ inf x ∈ X sup y ∗ ∈ Y ∗ L ( x , y ∗ ) = inf x ∈ X F ( x , 0 ) . {\displaystyle \sup _{y^{*}\in Y^{*}}-F^{*}(0,y^{*})=\sup _{y^{*}\in Y^{*}}\inf _{x\in X}L(x,y^{*})\leq \inf _{x\in X}\sup _{y^{*}\in Y^{*}}L(x,y^{*})=\inf _{x\in X}F(x,0).} 主問題が、 f ~ ( x ) = f ( x ) + I R + d ( − g ( x ) ) {\displaystyle {\tilde {f}}(x)=f(x)+I_{\mathbb {R} _{+}^{d}}(-g(x))} に対し inf x : g ( x ) ≤ 0 f ( x ) = inf x ∈ X f ~ ( x ) {\displaystyle \inf _{x:g(x)\leq 0}f(x)=\inf _{x\in X}{\tilde {f}}(x)} で与えられるとする。このとき、摂動が inf x : g ( x ) ≤ y f ( x ) {\displaystyle \inf _{x:g(x)\leq y}f(x)} で与えられるなら、摂動函数は F ( x , y ) = f ( x ) + I R + d ( y − g ( x ) ) {\displaystyle F(x,y)=f(x)+I_{\mathbb {R} _{+}^{d}}(y-g(x))} となる。したがって、ラグランジアン双対性との関連は、L が明らかに次で与えられることから分かる。 L ( x , y ∗ ) = { f ( x ) + y ∗ ( g ( x ) ) if y ∗ ∈ R + d − ∞ else {\displaystyle L(x,y^{*})={\begin{cases}f(x)+y^{*}(g(x))&{\text{if }}y^{*}\in \mathbb {R} _{+}^{d}\\-\infty &{\text{else}}\end{cases}}} .
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ラグランジアン
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「ワインバーグ＝サラム理論」の記事における「ラグランジアン」の解説
電弱対称性が破れる前のラグランジアンは L W S = L Y M + L ψ + L ϕ + L y u k a w a {\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {WS} }={\mathcal {L}}_{\mathrm {YM} }+{\mathcal {L}}_{\psi }+{\mathcal {L}}_{\phi }+{\mathcal {L}}_{\mathrm {yukawa} }} の形で表すことが出来る。 第一項はヤン＝ミルズ項 L Y M ≡ − 1 4 F a μ ν F μ ν a {\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {YM} }\equiv -{\frac {1}{4}}F^{a\mu \nu }F_{\mu \nu }^{a}} である。 第二項はフェルミオンの運動項で、 L ψ = ∑ ψ i ψ ¯ σ ¯ μ D μ ψ {\displaystyle {\mathcal {L}}_{\psi }=\sum _{\psi }i{\bar {\psi }}{\bar {\sigma }}^{\mu }{\mathcal {D}}_{\mu }\psi } である。理論に含まれるフェルミオンについて和をとる。 第三項はヒッグスの運動項とポテンシャル項で、 L ϕ = ( D μ Φ ) † D μ Φ − λ ( Φ † Φ − v 2 2 ) 2 {\displaystyle {\mathcal {L}}_{\phi }=({\mathcal {D}}^{\mu }\Phi )^{\dagger }{\mathcal {D}}_{\mu }\Phi -\lambda \left(\Phi ^{\dagger }\Phi -{\frac {v^{2}}{2}}\right)^{2}} である。 第四項は湯川相互作用項 L y u k a w a ( ϕ , ψ ) = − g ψ ¯ Γ ψ ϕ {\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {yukawa} }(\phi ,\psi )=-g{\bar {\psi }}\Gamma \psi \phi } である。 ヤン＝ミルズ理論に従い、フェルミオンとヒッグスの運動項の微分は共変微分へと置き換わっている。共変微分は D μ = ∂ μ − i g W μ a T a − i g ′ B μ Y {\displaystyle {\mathcal {D}}_{\mu }=\partial _{\mu }-igW_{\mu }^{a}T^{a}-ig'B_{\mu }Y} の形で書かれる。Ta (a=1, 2, 3) は SU(2)L の生成子で、Y は U(1)Y の生成子である。 W μ a , B μ {\displaystyle W_{\mu }^{a},B_{\mu }} はそれぞれのゲージ群に対応するゲージ場で、g, g' はそれぞれのゲージ群に対応する結合定数である。
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ラグランジアン
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湯川相互作用をするボソンφとディラック場ψはラグランジアン中で L y u k a w a ( ϕ , ψ ) = − g ψ ¯ Γ ψ ϕ {\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {yukawa} }(\phi ,\psi )=-g{\bar {\psi }}\Gamma \psi \phi } と書かれる。この形の項は湯川相互作用項と呼ばれる。g は湯川相互作用の大きさを表す結合定数で、湯川結合定数と呼ばれる。 Γ {\displaystyle \Gamma } はガンマ行列で、変換性により適当に挿入される。 Γ = { 1 ( scalar ) i γ 5 ( pseudoscalar ) {\displaystyle \Gamma ={\begin{cases}1&({\text{scalar}})\\i\gamma _{5}&({\text{pseudoscalar}})\\\end{cases}}} 系の全ラグランジアンは L ( ϕ , ∂ ϕ , ψ , ∂ ψ ) = L ϕ ( ϕ , ∂ ϕ ) + L ψ ( ψ , ∂ ψ ) + L y u k a w a ( ϕ , ψ ) {\displaystyle {\mathcal {L}}(\phi ,\partial \phi ,\psi ,\partial \psi )={\mathcal {L}}_{\phi }(\phi ,\partial \phi )+{\mathcal {L}}_{\psi }(\psi ,\partial \psi )+{\mathcal {L}}_{\mathrm {yukawa} }(\phi ,\psi )} となる。ボソンを実スカラー場とするとラグランジアンは以下のように書かれる。 L ϕ ( ϕ , ∂ ϕ ) = 1 2 ∂ μ ϕ ∂ μ ϕ − 1 2 m ϕ 2 ϕ 2 − V ( ϕ ) {\displaystyle {\mathcal {L}}_{\phi }(\phi ,\partial \phi )={\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{\frac {1}{2}}m_{\phi }^{2}\phi ^{2}-V(\phi )} ここで、 m ϕ {\displaystyle m_{\phi }} はスカラー場の質量で、 V ( ϕ ) {\displaystyle V(\phi )} はスカラー場の自己相互作用項である。4次元時空でくりこみ可能性を課すと自己相互作用項は V ( ϕ ) = λ ϕ 4 {\displaystyle V(\phi )=\lambda \phi ^{4}} となる（λは相互作用の強さ）。ディラック場のラグランジアンは以下のように書かれる。 L ψ ( ψ , ∂ ψ ) = i ψ ¯ γ μ ∂ μ ψ − m ψ ψ ¯ ψ {\displaystyle {\mathcal {L}}_{\psi }(\psi ,\partial \psi )=i{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -m_{\psi }{\bar {\psi }}\psi } m ψ {\displaystyle m_{\psi }} はディラック場の質量である。 これらを全てまとめると以下のようになる。 L ( ϕ , ∂ ϕ , ψ , ∂ ψ ) = 1 2 ∂ μ ϕ ∂ μ ϕ − 1 2 m ϕ 2 ϕ 2 − V ( ϕ ) + i ψ ¯ γ μ ∂ μ ψ − m ψ ψ ¯ ψ − g ψ ¯ ψ ϕ {\displaystyle {\mathcal {L}}(\phi ,\partial \phi ,\psi ,\partial \psi )={\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{\frac {1}{2}}m_{\phi }^{2}\phi ^{2}-V(\phi )+i{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -m_{\psi }{\bar {\psi }}\psi -g{\bar {\psi }}\psi \phi } スカラー場 φ についての運動方程式を計算すると ∂ μ ∂ μ ϕ + m ϕ 2 ϕ = − d V d ϕ − g ψ ¯ ψ {\displaystyle \partial ^{\mu }\partial _{\mu }\phi +m_{\phi }^{2}\phi =-{\frac {dV}{d\phi }}-g{\bar {\psi }}\psi } となる。低エネルギーで質量項に比べて運動項と自己相互作用項が無視できるとすると、 ϕ = − g m ϕ 2 ψ ¯ ψ {\displaystyle \phi =-{\frac {g}{m_{\phi }^{2}}}{\bar {\psi }}\psi } となり、これを使ってスカラー場を消去すると L ( ψ , ∂ ψ ) = i ψ ¯ γ μ ∂ μ ψ − m ψ ψ ¯ ψ + g 2 2 m ϕ 2 ( ψ ¯ ψ ) 2 {\displaystyle {\mathcal {L}}(\psi ,\partial \psi )=i{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -m_{\psi }{\bar {\psi }}\psi +{\frac {g^{2}}{2m_{\phi }^{2}}}({\bar {\psi }}\psi )^{2}} となる。フェルミ相互作用が再現され、その結合定数は湯川結合定数とスカラー場の質量により計算される。
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