ディラック場

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ディラック場

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/14 15:28 UTC 版)

ディラック場（英語: Dirac field）とは、場の理論においてスピン 1/2 のフェルミ粒子を記述するスピノル場である。相対論的量子力学において、ディラック方程式に従う場としてポール・ディラックにより導入された。

概要

ディラック場 ψ(x) は微小ローレンツ変換の下で

$i[M_{\mu \nu },\psi _{a}(x)]=x_{\mu }\partial _{\nu }\psi _{a}-x_{\nu }\partial _{\mu }\psi _{a}+i(S_{\mu \nu })_{a}{}^{b}\,\psi _{b}$

と変換する。スピン行列 S はガンマ行列によって

$S_{\mu \nu }={\frac {i}{4}}(\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }-\gamma _{\nu }\gamma _{\mu })$

と表される。ディラック場はガンマ行列の行列成分と同じ添え字をもち、4次元時空においては4成分の場である。ディラック表示やカイラル表示などガンマ行列の表示によって見かけの成分は変化する。

自由場

相互作用をしない自由ディラック場はディラック方程式

$i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -m\psi =0$

に従う。m はディラック場を量子化した粒子の質量と解釈される。 ディラック方程式を導くラグランジアンは

${\mathcal {L}}(\psi ,\partial \psi )=i{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -m{\bar {\psi }}\psi$

である。ここで ψ は ψ のディラック共役。

カイラリティー

4次元時空において、ガンマ行列により

$\gamma _{5}\equiv i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}$

で定義される行列 γ₅ は

$(\gamma _{5})^{\dagger }=\gamma _{5},~(\gamma _{5})^{2}=1,~\{\gamma ^{\mu },\gamma _{5}\}=0$

の性質を持つ。γ₅ はカイラリティーと呼ばれる。 γ₅ は固有値 ±1 をもち、固有値 +1 の部分空間は左手型成分（left-handed, LH）、−1 の部分空間は右手成分（right-handed, RH）と呼ばれる。射影演算子を

$P_{L}\equiv {\frac {1-\gamma _{5}}{2}},~P_{R}\equiv {\frac {1+\gamma _{5}}{2}}$

により定義すれば、

$\psi _{L}=P_{L}\psi$,

$\psi _{R}=P_{R}\psi$

として左手型、右手型の成分に分解することが出来る。 定義から明らかなように、左手型成分と右手型成分を足せば元のスピノルとなる。

$\psi _{L}+\psi _{R}=\psi$

また、ガンマ行列をかけるとカイラリティーが変わる。

$\gamma _{5}(\gamma ^{\mu }\psi _{L})=+\gamma ^{\mu }\psi _{L},~\gamma _{5}(\gamma ^{\mu }\psi _{R})=-\gamma ^{\mu }\psi _{R}$

ワイルスピノル

ワイル表示ではカイラリティは

$\gamma _{5}={\begin{pmatrix}-\mathbf {1} &\mathbf {0} \\\mathbf {0} &\mathbf {1} \\\end{pmatrix}}$

となる。つまり、スピノルの上2成分が左手型成分、下2成分が右手型成分となる。 ディラック・スピノルをカイラリティーで分けた2成分スピノルをワイル・スピノルと呼ぶ。

$\psi ={\begin{pmatrix}\xi \\{\bar {\eta }}\\\end{pmatrix}}$.

ψ はディラック・スピノル（4成分）、ξ, η はワイル・スピノル（2成分）。

ディラック方程式をワイルスピノルで書けば、

$i{\frac {\partial {\bar {\eta }}}{\partial t}}+i{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \nabla {\bar {\eta }}-m\xi =0$

$i{\frac {\partial \xi }{\partial t}}-i{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \nabla \xi -m{\bar {\eta }}=0$

となる。質量がゼロのとき

$i{\frac {\partial \xi }{\partial t}}=i{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \nabla \xi$

$i{\frac {\partial {\bar {\eta }}}{\partial t}}=-i{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \nabla {\bar {\eta }}$

となり、これはワイル方程式と呼ばれる。

参考文献

• 九後汰一郎 『ゲージ場の量子論Ⅰ』培風館〈新物理学シリーズ〉、1989年。ISBN 978-4-563-02423-9。 
• 坂井典佑 『場の量子論』裳華房〈裳華房フィジックスライブラリー〉、2002年。 ISBN 4-7853-2212-8。 
• V.P.ナイア 『現代的な視点からの場の量子論 基礎編』、阿部泰裕, 磯暁 訳丸善。 ISBN 978-4-621-06172-5。 
• M.E.Peskin, D.V.Schroeder (1995). An Introduction to Quantum Field Theory. Westview Perss. ISBN 978-0-201-50397-5 

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ディラック場

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/18 23:54 UTC 版)

「量子電磁力学」の記事における「ディラック場」の解説

物質場が質量 m のディラック場の場合は L m a t t e r ( ψ , D ψ ) = ∑ j ( i ψ ¯ j γ μ D μ ψ j − m j ψ ¯ j ψ j ) = ∑ j ( i ψ ¯ j γ μ ∂ μ ψ j − m j ψ ¯ j ψ j + e A μ Q j ψ ¯ j γ μ ψ j ) となる。 ψ ¯ = ψ † γ 0 はディラック場の共役場で、 γ μ はガンマ行列である。 ディラック場についてのラグランジュの運動方程式を計算すると i γ μ ∂ μ ψ i − m ψ i − e A μ Q i γ μ ψ i = 0 となる。第3項を右辺へ移行して i γ μ ∂ μ ψ i − m ψ i = e A μ Q i γ μ ψ i とすれば、左辺が通常のディラック方程式、右辺がディラック場と電磁場との相互作用項となる。 また4元電流密度は j μ ( x ) = − δ S m a t t e r [ ψ , A ] δ A μ ( x ) = ∑ j e Q j ψ ¯ j γ μ ψ j である。