ディラック場
ディラック場
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/18 23:54 UTC 版)
物質場が質量 m のディラック場の場合は L m a t t e r ( ψ , D ψ ) = ∑ j ( i ψ ¯ j γ μ D μ ψ j − m j ψ ¯ j ψ j ) = ∑ j ( i ψ ¯ j γ μ ∂ μ ψ j − m j ψ ¯ j ψ j + e A μ Q j ψ ¯ j γ μ ψ j ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} }(\psi ,{\mathcal {D}}\psi )&=\sum _{j}\left(i{\bar {\psi }}_{j}\gamma ^{\mu }{\mathcal {D}}_{\mu }\psi _{j}-m_{j}{\bar {\psi }}_{j}\psi _{j}\right)\\&=\sum _{j}\left(i{\bar {\psi }}_{j}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{j}-m_{j}{\bar {\psi }}_{j}\psi _{j}+eA_{\mu }Q_{j}{\bar {\psi }}_{j}\gamma ^{\mu }\psi _{j}\right)\end{aligned}}} となる。 ψ ¯ = ψ † γ 0 {\displaystyle {\bar {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma _{0}} はディラック場の共役場で、 γ μ {\displaystyle \gamma ^{\mu }} はガンマ行列である。 ディラック場についてのラグランジュの運動方程式を計算すると i γ μ ∂ μ ψ i − m ψ i − e A μ Q i γ μ ψ i = 0 {\displaystyle i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{i}-m\psi _{i}-eA_{\mu }Q_{i}\gamma ^{\mu }\psi _{i}=0} となる。第3項を右辺へ移行して i γ μ ∂ μ ψ i − m ψ i = e A μ Q i γ μ ψ i {\displaystyle i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{i}-m\psi _{i}=eA_{\mu }Q_{i}\gamma ^{\mu }\psi _{i}} とすれば、左辺が通常のディラック方程式、右辺がディラック場と電磁場との相互作用項となる。 また4元電流密度は j μ ( x ) = − δ S m a t t e r [ ψ , A ] δ A μ ( x ) = ∑ j e Q j ψ ¯ j γ μ ψ j {\displaystyle j^{\mu }(x)=-{\frac {\delta S_{\mathrm {matter} }[\psi ,A]}{\delta A_{\mu }(x)}}=\sum _{j}eQ_{j}{\bar {\psi }}_{j}\gamma ^{\mu }\psi _{j}} である。
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