相互作用項
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/06 05:29 UTC 版)
自由スカラー場をより一般化するために、ラグランジアン密度にスカラーポテンシャルを表す項を追加する。ここで、V(φ)は質量項を含めたφの2次以上のオーダーとする。φについて3次以上の項は相互作用項と呼ばれ、スカラー場同士の相互作用として解釈される非線形項である。相互作用項を含む理論の作用は以下のように定義される。 S = ∫ d D − 1 x d t L = ∫ d D − 1 x d t [ 1 2 ∂ μ ϕ ∂ μ ϕ − V ( ϕ ) ] = ∫ d D − 1 x d t [ 1 2 ( ∂ t ϕ ) 2 − 1 2 ( ∂ i ϕ ) 2 − 1 2 m 2 ϕ 2 − ∑ n = 3 ∞ 1 n ! g n ϕ n ] {\displaystyle {\begin{aligned}S&=\int \mathrm {d} ^{D-1}x\,\mathrm {d} t{\mathcal {L}}=\int \mathrm {d} ^{D-1}x\mathrm {d} t\left[{\frac {1}{2}}\partial _{\mu }\phi \partial ^{\mu }\phi -V(\phi )\right]\\&=\int \mathrm {d} ^{D-1}x\,\mathrm {d} t\left[{\frac {1}{2}}(\partial _{t}\phi )^{2}-{\frac {1}{2}}(\partial _{i}\phi )^{2}-{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}-\sum _{n=3}^{\infty }{\frac {1}{n!}}g_{n}\phi ^{n}\right]\end{aligned}}} ここで、相互作用項の係数 gn は結合定数である。展開の因子 n! が導入されたのは、量子論においてファインマン・ダイアグラムの摂動展開を表す際に用いられるためである。上記のラグランジアン密度をオイラー＝ラグランジュ方程式に代入して得られる運動方程式は以下のようになる。 ∂ μ ∂ μ ϕ + m 2 ϕ + ∂ ∂ ϕ V ( ϕ ) = ∂ t 2 ϕ − ∇ 2 ϕ + m 2 ϕ + ∂ ∂ ϕ V ( ϕ ) = 0 {\displaystyle \partial _{\mu }\partial ^{\mu }\phi +m^{2}\phi +{\frac {\partial }{\partial \phi }}V(\phi )=\partial _{t}^{2}\phi -\nabla ^{2}\phi +m^{2}\phi +{\frac {\partial }{\partial \phi }}V(\phi )=0}
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