トーマス＝フェルミ模型
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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/05/29 06:40 UTC 版)
トーマス＝フェルミ模型（トーマス＝フェルミもけい、英: Thomas–Fermi (TF) model）[1][2]とは、シュレーディンガー方程式[3]が導入されて間もなく、それを半古典的に扱った多体系の電子構造についての量子力学的な理論のことである。ルウェリン・トーマスとエンリコ・フェルミに因んで名づけられた。波動関数から離れて電子密度を用いて定式化したもので、密度汎関数理論の原型ともなった。トーマス＝フェルミ模型は、核電荷が無限大の極限においてのみ正確な結果を与える。現実的な系を考えるために近似を用いると、定量性に乏しい予言しかできず、原子の殻構造や固体のフリーデル振動のような密度についてのいくつかの一般的性質を再現することもできなくなる。しかし定性的な傾向を解析的に抽出でき、またモデルを解くことが簡単であることから、多くの分野で応用されている。トーマス＝フェルミ理論により表現された運動エネルギーは、オービタルフリー密度汎関数理論のようなより洗練された密度近似運動エネルギーの一つとしても使われている。
1927年にトーマスとフェルミは独立に、この統計的モデルを用いて原子中の電子分布を近似した。実際の電子は原子中で不均一に分布しているが、近似的に電子は微小体積要素 ΔV に（局所的に）それぞれ均一に分布しており、電子密度 n(r) は各 ΔV で異なっているとする。
運動エネルギー
基底状態にある原子中の微小体積要素 ΔV において、フェルミ球の体積 VF はフェルミ運動量を pF とすると以下のように書ける[4]。
ボース気体
(トーマス＝フェルミ近似 から転送)
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| 物性物理学 |
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理想ボース気体（英: Bose gas）とは、古典的な理想気体に類似した量子力学的な相のこと。整数値のスピンをもつボース粒子から構成され、ボース–アインシュタイン統計に従う。ボース粒子の統計力学は、サティエンドラ・ボースが光子において開拓した。アルベルト・アインシュタインは質量を持つ粒子に対してボース統計を拡張するとともに、ボース粒子の理想気体が十分に低温で凝縮し、古典的な理想気体とは挙動が異なることを示した。この凝縮はボース＝アインシュタイン凝縮と呼ばれる。
トーマス＝フェルミ近似
理想ボース気体の熱力学は、グランドカノニカル分布によって計算される。ボース気体のグランドカノニカル分布関数は次のように与えられる。
この方程式は絶対零度まで解くことができる。 図１に α = 3/2 におけるこの方程式の解の結果を示す。これは箱の中のボース気体に相当し、k = εc = 1 とする。 実線は N = 10,000 の場合、点線は N = 1,000 の場合を示す。黒線は励起粒子の割合 1 − N0/N 、青線は凝縮粒子の割合 N0/N で、赤線は化学ポテンシャル μ にマイナス符号をつけたもの、緑線は z の値である。 横軸は次のように定義される正規化された温度 τ である。
トーマス＝フェルミ近似
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「グロス＝ピタエフスキー方程式」の記事における「トーマス＝フェルミ近似」の解説
ボソン気体系の粒子数が非常に大きい場合、ハミルトニアンのボソン間相互作用項の寄与はボソンの運動エネルギー項よりはるかに大きくなる。従って、粒子数が充分大きい場合には運動エネルギー項を無視することができる。（全体に対し寄与の小さい）運動エネルギー項をハミルトニアンから落とす近似をトーマス＝フェルミ近似という。トーマス＝フェルミ近似の下で、グロス＝ピタエフスキー方程式の解は厳密に求めることができ、以下のようになる。 ψ ( x ) = { μ − V ( x ) N g ( μ − V ( x ) g ≥ 0 ) 0 o t h e r w i s e {\displaystyle \psi (x)={\begin{cases}{\sqrt {\frac {\mu -V(x)}{Ng}}}&\left({\frac {\mu -V(x)}{g}}\geq 0\right)\\0&\mathrm {otherwise} \end{cases}}}
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