基底状態
基底状態
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/11/11 21:52 UTC 版)
ここで新しいハミルトニアンの基底状態を考える。これは元の基底状態（真空状態）に U θ {\displaystyle U_{\theta }} を作用させたものになっている。 | θ ⟩ = U θ | 0 ⟩ a ^ i , new | θ ⟩ = U θ a ^ i U θ † | θ ⟩ = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}|\theta \rangle &=U_{\theta }|0\rangle \\{\hat {a}}_{i,{\text{new}}}|\theta \rangle &=U_{\theta }{\hat {a}}_{i}U_{\theta }^{\dagger }|\theta \rangle =0\end{aligned}}} この基底状態をフォック状態を使って具体的に表すと、 | θ ⟩ = 1 cosh θ exp [ − e − i ϕ a ^ 1 † a ^ 2 † tanh θ ] | 0 ⟩ = 1 cosh θ ∑ n = 0 ∞ ( − e − i ϕ tanh θ ) n | n ⟩ 1 ⊗ | n ⟩ 2 {\displaystyle |\theta \rangle ={\frac {1}{\cosh \theta }}\exp[-e^{-i\phi }{\hat {a}}_{1}^{\dagger }{\hat {a}}_{2}^{\dagger }\tanh \theta ]|0\rangle ={\frac {1}{\cosh \theta }}\sum _{n=0}^{\infty }(-e^{-i\phi }\tanh \theta )^{n}|n\rangle _{1}\otimes |n\rangle _{2}} この基底状態は、それぞれの調和振動子が同じエネルギーレベルに励起している状態の重ね合わせ状態になっている。このような状態を絡み合った状態（entangled state）という。量子的な場は、無数の調和振動子が集まったものであり、調和振動子の励起数 n {\displaystyle n} を粒子数と解釈する。ボゴリューボフ変換された基底状態 | θ ⟩ {\displaystyle |\theta \rangle } は、粒子１と粒子２がそれぞれ n {\displaystyle n} 個ずつ対生成された状態の重ね合わせになっている。 この新しい基底状態 | θ ⟩ {\displaystyle |\theta \rangle } は、 | 0 ⟩ {\displaystyle |0\rangle } からユニタリー変換で構成されたことから分かるように、純粋状態である。
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基底状態
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/11/20 09:12 UTC 版)
「コールソン＝フィッシャー理論」の記事における「基底状態」の解説
分子軌道理論における水素分子の結合性分子軌道 ψ {\displaystyle \psi } は、LCAO近似によって ψ = ϕ H a + ϕ H b {\displaystyle \psi =\phi _{Ha}+\phi _{Hb}} である（ ϕ H a {\displaystyle \phi _{Ha}} および ϕ H b {\displaystyle \phi _{Hb}} はそれぞれ水素原子aおよび水素原子b上の原子軌道）。コールソン＝フィッシャー法ではこれを非対称波動関数 ψ a b = ϕ H a + λ ϕ H b {\displaystyle \psi _{ab}=\phi _{Ha}+\lambda \phi _{Hb}} ψ b a = ϕ H b + λ ϕ H a {\displaystyle \psi _{ba}=\phi _{Hb}+\lambda \phi _{Ha}} で置き換える（ 0 ≤ λ ≤ 1 {\displaystyle 0\leq \lambda \leq 1} ）。 スピン座標を含めて適切に反対称化した系の波動関数 Ψ σ ′ {\displaystyle \Psi _{\sigma }'} は Ψ σ ′ = [ { ϕ H a ( 1 ) + λ ϕ H b ( 1 ) } { ϕ H b ( 2 ) + λ ϕ H a ( 2 ) } + { ϕ H b ( 1 ) + λ ϕ H a ( 1 ) } { ϕ H a ( 2 ) + λ ϕ H b ( 2 ) } ] × 1 2 { α ( 1 ) β ( 2 ) − β ( 1 ) α ( 2 ) } {\displaystyle \Psi _{\sigma }'=[\{\phi _{Ha}(1)+\lambda \phi _{Hb}(1)\}\{\phi _{Hb}(2)+\lambda \phi _{Ha}(2)\}+\{\phi _{Hb}(1)+\lambda \phi _{Ha}(1)\}\{\phi _{Ha}(2)+\lambda \phi _{Hb}(2)\}]\times {\frac {1}{\sqrt {2}}}\{\alpha (1)\beta (2)-\beta (1)\alpha (2)\}} である。この式の軌道部分は Ψ σ ′ = ( 1 + λ 2 ) { ϕ H a ( 1 ) ϕ H b ( 2 ) + ϕ H b ( 1 ) ϕ H a ( 2 ) } + 2 λ { ϕ H a ( 1 ) ϕ H a ( 2 ) + ϕ H b ( 1 ) ϕ H b ( 2 ) } {\displaystyle \Psi _{\sigma }'=(1+\lambda ^{2})\{\phi _{Ha}(1)\phi _{Hb}(2)+\phi _{Hb}(1)\phi _{Ha}(2)\}+2\lambda \{\phi _{Ha}(1)\phi _{Ha}(2)+\phi _{Hb}(1)\phi _{Hb}(2)\}} と書き直すことができる。 上の式の前半部分は単純なハイトラー＝ロンドン（原子価結合）共有結合性波動関数、後半部分はどちらか一方の原子に2つの電子が入った純粋なイオン性波動関数である。またこれは、Weinbaumによって使われた波動関数 Ψ σ ′ = { ϕ H a ( 1 ) ϕ H b ( 2 ) + ϕ H b ( 1 ) ϕ H a ( 2 ) } + μ { ϕ H a ( 1 ) ϕ H a ( 2 ) + ϕ H b ( 1 ) ϕ H b ( 2 ) } {\displaystyle \Psi _{\sigma }'=\{\phi _{Ha}(1)\phi _{Hb}(2)+\phi _{Hb}(1)\phi _{Ha}(2)\}+\mu \{\phi _{Ha}(1)\phi _{Ha}(2)+\phi _{Hb}(1)\phi _{Hb}(2)\}} と等価である。 核間距離が大きくなると、λは0に近づいていく。イオン性構造の寄与は0となり、水素分子の個々の水素原子への解離を正しく再現できる。
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