自由スカラー場
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/06 05:29 UTC 版)
運動項と質量項のみで構成される場を自由場と呼ぶ。相対論的な自由スカラー場の作用は以下のように定義される。 S = ∫ d D − 1 x d t L = ∫ d D − 1 x d t [ 1 2 ∂ μ ϕ ∂ μ ϕ − 1 2 m 2 ϕ 2 ] = ∫ d D − 1 x d t [ 1 2 ( ∂ t ϕ ) 2 − 1 2 ( ∂ i ϕ ) 2 − 1 2 m 2 ϕ 2 ] {\displaystyle {\begin{aligned}S&=\int \mathrm {d} ^{D-1}x\mathrm {d} t{\mathcal {L}}=\int \mathrm {d} ^{D-1}x\mathrm {d} t\left[{\frac {1}{2}}\partial _{\mu }\phi \partial ^{\mu }\phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}\right]\\&=\int \mathrm {d} ^{D-1}x\mathrm {d} t\left[{\frac {1}{2}}(\partial _{t}\phi )^{2}-{\frac {1}{2}}(\partial _{i}\phi )^{2}-{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}\right]\end{aligned}}} ここで、 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} はラグランジアン密度である。これは場φについて2次の項のみで構成されており、導出される運動方程式がφの1次までの微分方程式として表されることから、線形項と呼ばれる。m2に比例する項は質量項と呼ばれ、量子化された際には粒子の質量として解釈される。 上記のラグランジアン密度をスカラー場φについてのオイラー＝ラグランジュ方程式に代入することで、この理論の運動方程式が得られる。 ∂ μ ∂ μ ϕ + m 2 ϕ = ∂ t 2 ϕ − ∇ 2 ϕ + m 2 ϕ = 0 {\displaystyle \partial _{\mu }\partial ^{\mu }\phi +m^{2}\phi =\partial _{t}^{2}\phi -\nabla ^{2}\phi +m^{2}\phi =0} これはクライン＝ゴルドン方程式と同様の形式である。ただし、ここでは量子力学の方程式ではなく、古典場の方程式として解釈している。
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