因果プロパゲーター
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/02/18 07:38 UTC 版)
「プロパゲーター」の記事における「因果プロパゲーター」の解説
遅延プロパゲーター(Retarded propagator)： 双方の極を時計周りでの積分路は、因果律遅延プロパゲータ(causal retarded propagator)を与える。 x {\displaystyle x} と y {\displaystyle y} が空間的(spacelike)、もしくは x 0 < y 0 {\displaystyle x^{0}<y^{0}} (すなわち、 y {\displaystyle y} が x {\displaystyle x} の未来の場合には、この値はゼロとなる。 積分路の選択は極限での値を計算することと等価である。 G r e t ( x , y ) = lim ϵ → 0 1 ( 2 π ) 4 ∫ d 4 p e − i p ( x − y ) ( p 0 + i ϵ ) 2 − p → 2 − m 2 = { 1 2 π δ ( τ x y 2 ) − m J 1 ( m τ x y ) 4 π τ x y if y ≺ x 0 otherwise {\displaystyle G_{\mathrm {ret} }(x,y)=\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int d^{4}p\,{\frac {e^{-ip(x-y)}}{(p_{0}+i\epsilon )^{2}-{\vec {p}}^{2}-m^{2}}}={\begin{cases}{\dfrac {1}{2\pi }}\delta (\tau _{xy}^{2})-{\dfrac {mJ_{1}(m\tau _{xy})}{4\pi \tau _{xy}}}&{\text{ if }}y\prec x\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}} ここで、 τ x y := ( x 0 − y 0 ) 2 − ( x → − y → ) 2 {\displaystyle \tau _{xy}:={\sqrt {(x^{0}-y^{0})^{2}-({\vec {x}}-{\vec {y}})^{2}}}} は、 x {\displaystyle x} から y {\displaystyle y} への固有時間であり、 J 1 {\displaystyle J_{1}} は第一種ベッセル函数である。表現 y ≺ x {\displaystyle y\prec x} は y {\displaystyle y} が因果律に従っていることを意味し、ミンコフスキー時空では、 y 0 < x 0 {\displaystyle y^{0}<x^{0}} and τ x y 2 ≥ 0 {\displaystyle \tau _{xy}^{2}\geq 0} . であることを意味する。この表現は、自由スカラー場の作用素の交換子の真空期待値(en:vacuum expectation value)の項でも、次のように表現することができる。 G r e t ( x , y ) = i ⟨ 0 | [ Φ ( x ) , Φ ( y ) ] | 0 ⟩ Θ ( x 0 − y 0 ) {\displaystyle G_{\mathrm {ret} }(x,y)=i\langle 0|\left[\Phi (x),\Phi (y)\right]|0\rangle \Theta (x^{0}-y^{0})} ここに Θ ( x ) := { 1 for x ≥ 0 0 for x < 0 {\displaystyle \Theta (x):={\begin{cases}1&{\mbox{for}}&x\geq 0\\0&{\mbox{for}}&x<0\end{cases}}} はヘヴィサイドの階段函数であり、 [ Φ ( x ) , Φ ( y ) ] := Φ ( x ) Φ ( y ) − Φ ( y ) Φ ( x ) {\displaystyle \left[\Phi (x),\Phi (y)\right]:=\Phi (x)\Phi (y)-\Phi (y)\Phi (x)} は交換子である。 前進プロパゲーター(Advanced propagator): 2つの極の周りを反時計まわりの積分路は、因果律前進プロパゲーターである。この値は、 x {\displaystyle x} と y {\displaystyle y} が空間的(spacelike)であったり、 x 0 > y 0 {\displaystyle x^{0}>y^{0}} （すなわち、 y {\displaystyle y} が x {\displaystyle x} の過去であった場合）にはゼロとなる。 この積分路の選択は、次の極限を計算することと同等である。 G a d v ( x , y ) = lim ϵ → 0 1 ( 2 π ) 4 ∫ d 4 p e − i p ( x − y ) ( p 0 − i ϵ ) 2 − p → 2 − m 2 = { − 1 2 π δ ( τ x y 2 ) + m J 1 ( m τ x y ) 4 π τ x y if x ≺ y 0 otherwise . {\displaystyle G_{\mathrm {adv} }(x,y)=\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int d^{4}p\,{\frac {e^{-ip(x-y)}}{(p_{0}-i\epsilon )^{2}-{\vec {p}}^{2}-m^{2}}}={\begin{cases}-{\frac {1}{2\pi }}\delta (\tau _{xy}^{2})+{\frac {mJ_{1}(m\tau _{xy})}{4\pi \tau _{xy}}}&{\text{ if }}x\prec y\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}.} この表現もまた、自由スカラー場の交換子の真空期待値(en:vacuum expectation value)の項で表現することができる。この場合は、次のようになる。 G a d v ( x , y ) = − i ⟨ 0 | [ Φ ( x ) , Φ ( y ) ] | 0 ⟩ Θ ( y 0 − x 0 ) . {\displaystyle G_{\mathrm {adv} }(x,y)=-i\langle 0|\left[\Phi (x),\Phi (y)\right]|0\rangle \Theta (y^{0}-x^{0}).}
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