場の量子論 における、ワイル（ヴァイル）方程式 （Weyl equation ）は質量のないフェルミオン を表す波動方程式 である。ヘルマン・ワイル の名を冠している。
定義 ワイル方程式 は次のとおりである[1] [2]
σ
μ
∂
μ
ψ
=
0
{\displaystyle \sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi =0}
これは明らかに国際単位系 に従う：
I
2
1
c
∂
ψ
∂
t
+
σ
x
∂
ψ
∂
x
+
σ
y
∂
ψ
∂
y
+
σ
z
∂
ψ
∂
z
=
0
{\displaystyle I_{2}{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}+\sigma _{x}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}+\sigma _{y}{\frac {\partial \psi }{\partial y}}+\sigma _{z}{\frac {\partial \psi }{\partial z}}=0}
ここで、
σ
μ
=
(
σ
0
,
σ
1
,
σ
2
,
σ
3
)
=
(
I
2
,
σ
x
,
σ
y
,
σ
z
)
{\displaystyle \sigma _{\mu }=(\sigma _{0},\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3})=(I_{2},\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z})}
は、成分がμ = 0に対し2×2単位行列 でμ = 1,2,3に対しパウリ行列 である4次元ベクトル であって、ψはワイル表示スピノール の波動関数 である。
要素 ψL R パウリ行列 である。二つの要素が持つ形式は
ψ
=
(
ψ
1
ψ
2
)
=
χ
e
−
i
(
k
⋅
r
−
ω
t
)
=
χ
e
−
i
(
p
⋅
r
−
E
t
)
/
ℏ
{\displaystyle \psi ={\begin{pmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\\\end{pmatrix}}=\chi e^{-i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}=\chi e^{-i(\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} -Et)/\hbar }}
この時
χ
=
(
χ
1
χ
2
)
{\displaystyle \chi ={\begin{pmatrix}\chi _{1}\\\chi _{2}\\\end{pmatrix}}}
は連続的な2成分スピノールである。
粒子が質量がないので、運動量ｐ の大きさは直接波数ベクトル ｋ に関連付けられる（これはドブロイ関係によって可能となる。)。
|
p
|
=
ℏ
|
k
|
=
ℏ
ω
/
c
→
|
k
|
=
ω
/
c
{\displaystyle |\mathbf {p} |=\hbar |\mathbf {k} |=\hbar \omega /c\,\rightarrow \,|\mathbf {k} |=\omega /c}
この方程式は右手或いは左手スピノールの観点から次のように書ける。
σ
μ
∂
μ
ψ
R
=
0
σ
¯
μ
∂
μ
ψ
L
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}&\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{R}=0\\&{\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{L}=0\end{aligned}}}
ヘリシティ カイラル成分は粒子のヘリシティ λに一致する（ J は角運動量 で直線的運動量P 上にある）。
p
⋅
J
|
p
,
λ
⟩
=
λ
|
p
|
|
p
,
λ
⟩
{\displaystyle \mathbf {p} \cdot \mathbf {J} \left|\mathbf {p} ,\lambda \right\rangle =\lambda |\mathbf {p} |\left|\mathbf {p} ,\lambda \right\rangle }
ここで
λ
=
±
1
/
2
{\displaystyle \lambda =\pm 1/2}
誘導 これは、ミンコフスキー時空間 における対称性につながる。
参考文献
^ Quantum Mechanics, E. Abers, Pearson Ed., Addison Wesley, Prentice Hall Inc, 2004, ISBN 978-0-13-146100-0
^ The Cambridge Handbook of Physics Formulas, G. Woan, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-57507-2 .
Quantum Field Theory, D. McMahon, Mc Graw Hill (USA), 2008,ISBN 978-0-07-154382-8
Particle Physics (2nd Edition), BR Martin, G. Shaw, Manchester Physics, John Wiley & Sons, 2008,ISBN 978-0-470-03294-7
Supersymmetry P. Labelle, Demystified, McGraw-Hill (USA), 2010,ISBN 978-0-07-163641-4
The Road to Reality, Roger Penrose, Vintage books, 2007,ISBN 0-679-77631-1 関連項目 
