ディラック測度
ディラック測度
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/03/12 08:20 UTC 版)
ディラック測度 δp の場合、x ∈ R とし、次の二つの場合を考える。 x = p であるなら、x のすべての開近傍 Nx は p を含み、したがって δp(Nx) = 1 > 0 となる； 一方、x ≠ p であるなら、x を含む十分小さな開球 B で p を含まないようなものが存在する。このとき δp(B) = 0 となる。 以上より、supp(δp) は単集合 {p} の閉包、すなわち {p} 自身であると結論付けられる。 実際、実数直線上のある測度 μ がある点 p に対するディラック測度 δp であるための必要十分条件は、μ の台が単集合 {p} であることである。したがって、実数直線上のディラック測度は、分散がゼロであるような唯一つの測度である。
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ディラック測度
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/01 00:14 UTC 版)
「ディラックのデルタ関数」の記事における「ディラック測度」の解説
ディラック関数は以下のようにして定まるディラック測度（英: Dirac measure）δ0 の非形式的な密度関数だと解釈することができる。実直線のボレル部分集合 A に対して、A が 0 を含む場合 δ0(A) = 1、そうでない場合 δ0(A) = 0 とすると、δ0 は σ-加法性を持っている。この測度に関する有界ボレル関数の積分は ∫ f ( x ) d δ 0 ( x ) = f ( 0 ) {\displaystyle \int f(x)d\delta _{0}(x)=f(0)} であり、形式的に dδ0(x) = δ(x)dx が成り立っている。
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