定義と性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/03 10:15 UTC 版)
アーラン分布は2つの母数 k（正の整数）および μ（正の実数）によって定まり、その確率密度関数は次のように定義される。 f ( x ; k , μ ) = 1 ( k − 1 ) ! μ k x k − 1 e − x / μ f o r x > 0 {\displaystyle f(x;k,\mu )={\frac {1}{(k-1)!\,\mu ^{k}}}x^{k-1}e^{-x/\mu }\ \ \ \ \mathrm {for\ } x>0} 等価な定義として、パラメータ λ = 1/μ を用いて次のように表されることもある。 f ( x ; k , λ ) = λ k ( k − 1 ) ! x k − 1 e − λ x f o r x > 0 {\displaystyle f(x;k,\lambda )={\frac {\lambda ^{k}}{(k-1)!}}x^{k-1}e^{-\lambda x}\ \ \ \ \mathrm {for\ } x>0} アーラン分布の累積分布関数は、以下のように求められる。 F ( x ) = ∫ 0 x f ( t ; k , μ ) d t = 1 − e − x / μ ∑ n = 0 k − 1 1 n ! ( x μ ) n = ∫ 0 x f ( t ; k , λ ) d t = 1 − e − λ x ∑ n = 0 k − 1 ( λ x ) n n ! {\displaystyle {\begin{aligned}F(x)&=\int _{0}^{x}f(t;k,\mu )\,dt=1-e^{-x/\mu }\sum _{n=0}^{k-1}{\frac {1}{n!}}\left({\frac {x}{\mu }}\right)^{n}\\&=\int _{0}^{x}f(t;k,\lambda )\,dt=1-e^{-\lambda x}\sum _{n=0}^{k-1}{\frac {(\lambda x)^{n}}{n!}}\end{aligned}}} 定義より（あるいは後述する指数確率変数を用いた解釈により）期待値 E[X] および分散 V[X] は以下のようになる。 E [ X ] = k μ = k λ , V [ X ] = k μ 2 = k λ 2 {\displaystyle E[X]=k\mu ={\frac {k}{\lambda }},\,\,\,V[X]=k\mu ^{2}={\frac {k}{\lambda ^{2}}}}
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定義と性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/09/01 14:56 UTC 版)
フレシェ分布の累積分布関数は F ( x ) = Pr ( X ≤ x ) = e − x − α if x > 0. {\displaystyle F(x)=\Pr(X\leq x)=e^{-x^{-\alpha }}{\text{ if }}x>0.} である (Alves & Neves 2011) 。ここで、α > 0は、形状パラメータである。フレシェ分布の確率密度関数は f ( x ) = α x − α − 1 e − x − α {\displaystyle f(x)=\alpha x^{-\alpha -1}\;e^{-x^{-\alpha }}} となる。 フレシェ分布の期待値と分散は以下の通りとなる (Alves & Neves 2011)。 期待値は E [ X ] = Γ ( 1 − 1 α ) if α > 1 {\displaystyle E[X]=\Gamma (1-{\tfrac {1}{\alpha }}){\text{ if }}\alpha >1} となる。 分散は Var ( X ) = Γ ( 1 − 2 α ) − ( Γ ( 1 − 1 α ) ) 2 if α > 2 {\displaystyle {\text{Var}}(X)=\Gamma (1-{\tfrac {2}{\alpha }})-{\big (}\Gamma (1-{\tfrac {1}{\alpha }}){\big )}^{2}{\text{ if }}\alpha >2} となる。 ここで、 Γ ( ) {\displaystyle \Gamma \left(\right)} はガンマ関数であり、 Γ ( z ) := ∫ 0 ∞ x z − 1 e − x d x {\displaystyle \Gamma (z):=\int _{0}^{\infty }x^{z-1}e^{-x}dx} である。 ガンベル分布（タイプI）、フレシェ分布（タイプII）、ワイブル分布（タイプIII）は、一般化極値分布（The Generalized Extreme Value Distribution）として単一の分布関数で表現できる（Coles, 2013, p. 47）。
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定義と性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/04/05 04:05 UTC 版)
α = ( α 1 , … , α K ) {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}=(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{K})} をパラメータ、実数ベクトル x = ( x 1 , … , x K ) {\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{K})} を確率変数とするときの K − 1 {\displaystyle K-1} 次ディリクレ分布の確率密度関数は以下の式で定義される。 P ( x ; α ) = 1 B ( α ) ∏ i = 1 K x i α i − 1 {\displaystyle P(\mathbf {x} ;{\boldsymbol {\alpha }})={\frac {1}{B({\boldsymbol {\alpha }})}}\prod _{i=1}^{K}x_{i}^{\alpha _{i}-1}} ここで x {\displaystyle \mathbf {x} } はK-1次元単体上の点であり、 x i ≥ 0 {\displaystyle x_{i}\geq 0} 、 ∑ x i = 1 {\displaystyle \sum x_{i}=1} を満たす。また、 α i > 0 {\displaystyle \alpha _{i}>0} であり、 B ( α ) {\displaystyle B({\boldsymbol {\alpha }})} は多変量に拡張したベータ関数で、以下の式で定義される。 B ( α ) = ∏ i = 1 K Γ ( α i ) Γ ( ∑ i = 1 K α i ) {\displaystyle B({\boldsymbol {\alpha }})={\frac {\prod _{i=1}^{K}\Gamma (\alpha _{i})}{\Gamma (\sum _{i=1}^{K}\alpha _{i})}}} このとき、 x i {\displaystyle x_{i}} の期待値は α i ∑ i = 1 K α i {\displaystyle {\frac {\alpha _{i}}{\sum _{i=1}^{K}\alpha _{i}}}} 、同じく分散は α i ∑ j ≠ i α j ( ∑ i = 1 K α i ) 2 ( 1 + ∑ i = 1 K α i ) {\displaystyle {\frac {\alpha _{i}\sum _{j\neq i}\alpha _{j}}{(\sum _{i=1}^{K}\alpha _{i})^{2}(1+\sum _{i=1}^{K}\alpha _{i})}}} である。
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定義と性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/04/14 23:49 UTC 版)
集合 X とその上の冪集合 2X に対し、X の部分集合族 Σ ⊂ 2X が X 上の σ-集合代数であるとは、 Σ は空でない: 少なくとも一つの A ⊂ X が Σ に属する。 Σ は補演算に関して閉じている: A が Σ に属するならば、その補集合 X ∖ A も Σ に属する。 Σ は可算合併に関して閉じている: A1, A2, A3, … が Σ に属する集合の列ならば、それらの合併 A = A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ … も Σ に属する。 の三性質を満たすときに言う。これら三公理から、σ-集合体は可算交叉について閉じていることが（ド・モルガンの法則から）わかる。 またこれらから Σ が全体集合 X および空集合を含むことがわかる。実際、条件 1. から Σ は空でないので適当な A ⊂ X が取れて、条件 2. でその補集合 X ∖ A も Σ に属し、条件 3. からそれらの和 A ∪ (X ∖ A) = X も Σ に属することが言える。また再度条件 2. を適用して、X ∈ Σ の補集合である空集合が Σ に属することが言える。 実はこのことはまさに、σ-集合代数と σ-集合環との間の差異であって、つまり σ-集合代数 Σ とは全体集合 X を含むような σ-集合環のことに他ならない。σ-集合環は必ずしも σ-集合代数でない。何となれば、実数直線 R 内のルベーグ零集合（ルベーグ測度 0 の可測部分集合）の族は σ-集合環になるが、零集合の可算合併はやはり零集合であって、測度が無限大である R には成り得ないので、σ-集合代数にはならない。また、零集合の代わりに、R のルベーグ測度が有限な可測部分集合の族を考えると、これは集合環にはなるが、有限な測度を持つ集合の可算和として得られる R が測度有限でないので、σ-集合環にはならない。 σ-集合代数 Σ に属する元は (Σ-)可測集合であると言い、集合 X とその上の σ-集合代数の組 (X, Σ) は X 上の σ-集合体を成し、可測空間 (measurable space) と呼ばれる。可測空間の間の写像が可測函数であるとは、任意の可測集合の原像が可測となることを言う。全ての可測空間の集まりは、可測函数を射として圏を成す。測度は σ-集合代数から補完数直線内の区間 [0, ∞] への特定の種類の写像として定義される。 σ-集合代数 (X, Σ) をカリグラフ体やフラクトゥールを用いて ( X , F ) , ( X , F ) {\displaystyle (X,\,{\mathcal {F}}),\quad (X,\,{\mathfrak {F}})} のように書くこともある。このように書くと、Σ が総和の記号 ∑ と区別し難いような場面で有効である。
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定義と性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/03/30 19:18 UTC 版)
[ 0 , ∞ ) {\displaystyle [0,\infty )} の範囲の値を取る実数の確率変数 x {\displaystyle x} が逆ガウス分布に従うとき、その累積分布関数は以下である。 F ( x ) = Φ { λ x ( x μ − 1 ) } + exp ( 2 λ μ ) Φ { − λ x ( x μ + 1 ) } {\displaystyle F(x)=\Phi \left\{{\sqrt {\frac {\lambda }{x}}}\left({\frac {x}{\mu }}-1\right)\right\}+\exp \left({\frac {2\lambda }{\mu }}\right)\Phi \left\{-{\sqrt {\frac {\lambda }{x}}}\left({\frac {x}{\mu }}+1\right)\right\}} ここで Φ ( u ) = ∫ − ∞ u 1 2 π exp ( − z 2 2 ) d z {\displaystyle \Phi (u)=\int _{-\infty }^{u}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\exp \left(-{\frac {z^{2}}{2}}\right){\mathit {dz}}} であり、 μ > 0 , λ > 0 {\displaystyle \mu >0,~\lambda >0} がパラメータである。このときの確率密度関数は以下である。 f ( x ) = ( λ 2 π x 3 ) 1 2 exp ( − λ ( x − μ ) 2 2 μ 2 x ) {\displaystyle f(x)=\left({\frac {\lambda }{2\pi x^{3}}}\right)^{\frac {1}{2}}\exp \left(-{\frac {\lambda (x-\mu )^{2}}{2\mu ^{2}x}}\right)} 期待値は μ {\displaystyle \mu } 、分散は μ 3 λ {\displaystyle {\frac {\mu ^{3}}{\lambda }}} である。 λ → ∞ {\displaystyle \lambda \rightarrow \infty } で正規分布に近づく。特に平均 0、分散 1 の標準逆ガウス分布 X − μ μ 3 / λ {\displaystyle {\frac {X-\mu }{\sqrt {\mu ^{3}/\lambda }}}} は標準正規分布 N ( 0 , 1 ) {\displaystyle N(0,1)} に近づく。 逆ガウス分布のキュムラント母関数 (モーメント母関数の対数) が正規分布のキュムラント母関数の逆関数になっているため、この名がある。
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定義と性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/03/31 08:19 UTC 版)
切断正規分布の確率密度関数は以下で定義される。 f ( x ; μ , σ , a , b ) = 1 σ ϕ ( x − μ σ ) Φ ( b − μ σ ) − Φ ( a − μ σ ) {\displaystyle f(x;\mu ,\sigma ,a,b)={\frac {{\frac {1}{\sigma }}\phi ({\frac {x-\mu }{\sigma }})}{\Phi ({\frac {b-\mu }{\sigma }})-\Phi ({\frac {a-\mu }{\sigma }})}}} ここで ϕ ( ⋅ ) {\displaystyle \scriptstyle {\phi (\cdot )}\ } は標準正規分布 N(0, 1) の確率密度関数、 Φ ( ⋅ ) {\displaystyle \scriptstyle {\Phi (\cdot )}} は標準正規分布 N(0, 1) の累積分布関数である。
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定義と性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/03/31 08:18 UTC 版)
「フォン・ミーゼス分布」の記事における「定義と性質」の解説
μ (0 ≤ μ < 2π), β (β ≥ 0) をパラメータ、実数 θ (0 ≤ θ < 2π) を確率変数とするときのフォン・ミーゼス分布の累積分布関数 F(θ) および確率密度関数 f(θ) は以下の式で定義される。 F ( θ ) = { 2 π I 0 ( β ) } − 1 [ θ I 0 ( β ) + 2 { ∑ j = 0 ∞ I j ( β ) sin ( j ( θ − μ ) ) j } ] {\displaystyle F(\theta )=\left\{2\pi I_{0}(\beta )\right\}^{-1}\left[\theta I_{0}(\beta )+2\left\{\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {I_{j}(\beta )\sin(j(\theta -\mu ))}{j}}\right\}\right]} f ( θ ) = exp { β cos ( θ − μ ) } 2 π I 0 ( β ) {\displaystyle f(\theta )={\frac {\exp\{\beta \cos(\theta -\mu )\}}{2\pi I_{0}(\beta )}}} ここで I j ( β ) = ( β 2 ) j ∑ i = 0 ∞ ( β 2 4 ) i i ! Γ ( j + i + 1 ) {\displaystyle I_{j}(\beta )=\left({\frac {\beta }{2}}\right)^{j}\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {\left({\frac {\beta ^{2}}{4}}\right)^{i}}{i!\Gamma (j+i+1)}}} は j 次の第一種変形ベッセル関数である。パラメータ β が大きいとき正規分布に近似でき、β = 0 のとき一様分布に帰着する。 定義域が有限 (0 ≤ θ < 2π)、または θ に関して周期関数であることから、正規分布とは異なるが、方向統計学における代表的な分布であること、二変量正規分布を変換することでフォン・ミーゼス分布を得られること、最尤推定により平均方向が得られることなど、正規分布と類似性もあることから、円周正規分布 (circular normal distribution) と呼ばれることもある。しかし、再生性を持たない等、正規分布と異なる性質もある。
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定義と性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/03/31 01:57 UTC 版)
確率変数を x ( α ≤ x ≤ β ) {\displaystyle x(\alpha \leq x\leq \beta )} とする。 x {\displaystyle x\!} が整数であるときの離散型の一様分布の確率分布 Pr ( x = X ) {\displaystyle \Pr(x=X)} 、および x {\displaystyle x\!} が実数値であるときの連続型の一様分布の確率密度関数は以下の式で定義される。 1 β − α {\displaystyle {\frac {1}{\beta -\alpha }}} またいずれの場合も確率の期待値は以下で表される。 α + β 2 {\displaystyle {\frac {\alpha +\beta }{2}}} 連続型の一様分布は、尖度は-1.2、歪度は0。 日本工業規格では、「(1)連続分布の場合，その確率密度関数が有限区間 [a, b] で一定の値，区間外で 0 となる分布。(2)離散分布の場合，n 点で等しい確率 Pr (X＝xi)＝n1, i＝1, 2, …, n となる分布。」と定義している。
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定義と性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/10/14 01:05 UTC 版)
確率変数を実数 x (−∞ < x < ∞) とするときのロジスティック分布は、 累積分布関数 F ( x ; μ , s ) {\displaystyle F(x;\mu ,s)} が F ( x ; μ , s ) = 1 1 + e − ( x − μ ) / s = 1 2 { tanh ( x − μ 2 s ) + 1 } {\displaystyle F(x;\mu ,s)={\frac {1}{1+e^{-(x-\mu )/s}}}={\frac {1}{2}}\left\{\tanh \left({\frac {x-\mu }{2s}}\right)+1\right\}} あるいは、 確率密度関数 f ( x ; μ , s ) {\displaystyle f(x;\mu ,s)} が f ( x ; μ , s ) = exp ( − ( x − μ ) / s ) s ( 1 + exp ( − ( x − μ ) / s ) ) 2 {\displaystyle f(x;\mu ,s)={\frac {\exp(-(x-\mu )/s)}{s\,(1+\exp(-(x-\mu )/s))^{2}}}} となる分布として定義される。 このとき、期待値は μ、分散は π 2 s 2 3 {\displaystyle {\frac {\pi ^{2}s^{2}}{3}}} である。歪度は 0 で正規分布と同様に平均のまわりで対称であるが、尖度は 6/5 = 1.2 となる。
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定義と性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/04 01:23 UTC 版)
ガンマ分布は、確率密度関数が形状母数 k > 0, 尺度母数 θ > 0 を用いて f ( x ) = 1 Γ ( k ) θ k x k − 1 e − x / θ f o r x > 0 {\displaystyle f(x)={\frac {1}{\Gamma (k)\,\theta ^{k}}}x^{k-1}e^{-x/\theta }\ \ \ \ \mathrm {for\ } x>0} で定義される分布である。ここで、Γ(k) はガンマ関数である。 等価な定義として、パラメータ λ = 1/θ を用いて次のように表されることもある。 f ( x ) = λ k Γ ( k ) x k − 1 e − λ x f o r x > 0 {\displaystyle f(x)={\frac {\lambda ^{k}}{\Gamma (k)}}x^{k-1}e^{-\lambda x}\ \ \ \ \mathrm {for\ } x>0} このとき、ガンマ分布の累積分布関数は次のように表される。 F ( x ) = ∫ 0 x f ( u ) d u = γ ( k , x / θ ) Γ ( k ) = γ ( k , λ x ) Γ ( k ) {\displaystyle F(x)=\int _{0}^{x}f(u)\,du={\frac {\gamma (k,x/\theta )}{\Gamma (k)}}={\frac {\gamma (k,\lambda x)}{\Gamma (k)}}} ここで γ は不完全ガンマ関数である。
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定義と性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/06/11 16:46 UTC 版)
マローズのCpは、過剰適合の問題に対する方法である。一般にモデルの変数が増えれば増えるほど、残差平方和などのモデル適合度の指標は常に小さくなる。したがって、残差平方和が最小となるモデルを選択する場合、常にすべての変数を含むモデルが選択されてしまう。代わりに、データのサンプルで計算されたC p統計は、 母集団ターゲットとして平均二乗予測誤差 （MSPE）を推定する。 E ∑ j ( Y ^ j − E ( Y j ∣ X j ) ) 2 σ 2 {\displaystyle E\sum _{j}{\frac {({\hat {Y}}_{j}-E(Y_{j}\mid X_{j}))^{2}}{\sigma ^{2}}}} ただし、 Y ^ j {\displaystyle {\hat {Y}}_{j}} は j 番目のケースのフィット値、E (Yj | Xj) は j 番目のケースの期待値であり、σ2は誤差分散（全ケース共通の定数とみなされる）である。変数が追加されても、MSPEは自動的に小さくなることはない。この基準での最適なモデルは、サンプルサイズ、さまざまな予測変数の効果量、および変数間の共線性の程度によって決まる。 P個の変数がK>PであるようなK個の変数から選択された場合、Cpは次のように定義される。 C p = S S E p S 2 − N + 2 P , {\displaystyle C_{p}={SSE_{p} \over S^{2}}-N+2P,} ただし、 S S E p = ∑ i = 1 N ( Y i − Y p i ) 2 {\displaystyle SSE_{p}=\sum _{i=1}^{N}(Y_{i}-Y_{pi})^{2}} は、P個の変数を持つモデルの残差平方和 Y piは、 P リグレッサからのYの i番目の観測の予測値 S 2は、 K個すべての変数を用いて回帰分析を行った場合の残差平均平方（residual mean square）であり、平均二乗誤差（MSE）によって推定される。 Nは標本サイズ
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定義と性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/28 14:51 UTC 版)
任意の零でないベクトル x , y {\displaystyle {\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}}} について、次の値がベクトルのなす角となる。 θ = Arccos ⟨ x , y ⟩ ‖ x ‖ ‖ y ‖ {\displaystyle \theta =\operatorname {Arccos} {\frac {\langle {\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}}\rangle }{\lVert {\boldsymbol {x}}\rVert \lVert {\boldsymbol {y}}\rVert }}} ⟨x, y⟩ は x, y の内積、||x|| は x のノルム（長さ）である。主値は 0 ≦ θ ≦ π とするのが普通である。 ベクトルのなす角が 0 の場合、二つのベクトルは一次従属すなわち方向が同じであり、π/2 の場合は直交する。
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定義と性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/14 22:26 UTC 版)
確率変数を実数 x (−∞ < x < ∞) とするときのラプラス分布の確率密度関数は以下の式で定義される。 f ( x ; μ , b ) = 1 2 b exp ( − | x − μ | b ) {\displaystyle f(x;\mu ,b)={\frac {1}{2b}}\exp \left(-{\frac {|x-\mu |}{b}}\right)} このとき、期待値は μ、分散は 2b2 である。歪度は 0、尖度は 3 である。
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定義と性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/06 11:17 UTC 版)
K を体[要曖昧さ回避]とする。K 上の結合多元環 A が分離的であるとは、すべての拡大体 L/K に対して多元環 A⊗KL が半単純であることをいう。 分離多元環の分類定理がある：分離多元環は有限次元可除環であって、その中心が K の有限次元分離拡大であるものの全行列多元環の有限積に同型である。とくに分離多元環は有限次元である。もし K が完全体——たとえば標数0、有限体、あるいは代数的閉体——ならば K のすべての拡大は分離的である。その結果、K が完全体ならば、分離多元環は有限次元可除環の全行列多元環の有限積に同型である。つまり、K が完全体ならば、分離多元環と有限次元半単純多元環に違いはない（ウェダーバーンの定理も参照）。 分離多元環にはいくつかの同値な特徴づけがある。第一に、多元環 A が分離的である必要十分条件はその包絡多元環 Ae = A ⊗K Aop の元 p = ∑ni=1 xi ⊗ yi が存在して、 ∑ni=1 xi yi = 1A と ap = pa (∀ a ∈ A) を満たすことである。そのような元 p は p2 = p を満たすので分離べき等元(英: separability idempotent)と呼ばれる。 第二に、多元環 A が分離的である必要十分条件は通常の方法で左 Ae 加群と見たとき射影的であることである。 第三に、多元環 A が分離的である必要十分条件は通常の（しかしあまり標準的ではない）方法で右 Ae 加群と見たとき平坦であることである。詳細は Aguiar (2000) を参照。 分離多元環が強分離的[訳語疑問点](英: strongly separable)であるとは、「対称な」分離べき等元 e = ∑ni=1 xi ⊗ yi = ∑ni=1 yi ⊗ xi が存在するこという。多元環が強分離的である必要十分条件はそのtrace formが非退化であることであり、したがって多元環はフロベニウス多元環の一種になる。
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定義と性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/02 04:39 UTC 版)
ネロンはネロン・テイトの高さを、局所的高さの和として定義した。大域的なネロン・テイトの高さは二次であるにもかかわらず、和がネロン・テイトの高さとなる局所的な高さは、全く二次的ではない。テイトは（出版されていないが）高さを大域的に定義した。彼の定義した方法は、アーベル多様体 A {\displaystyle A} 上の対称的な可逆層 L {\displaystyle L} に付随する対数的高さ h L {\displaystyle h_{L}} は「ほぼ二次」であり、このことを使って極限 h ^ L ( P ) = lim N → ∞ h L ( N P ) N 2 {\displaystyle {\hat {h}}_{L}(P)=\lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {h_{L}(NP)}{N^{2}}}} が存在し、有理点のモーデル・ヴェィユ群の上の二次形式を定義し、 h ^ L ( P ) = h L ( P ) + O ( 1 ) {\displaystyle {\hat {h}}_{L}(P)=h_{L}(P)+O(1)} を満たすことを示した。ここで定数 O ( 1 ) {\displaystyle O(1)} は P {\displaystyle P} とは独立である。 L {\displaystyle L} が反対称的であれば、 [ − 1 ] ∗ L = L {\displaystyle [-1]^{*}L=L} であるので、類似する極限 h ^ L ( P ) = lim N → ∞ h L ( N P ) N {\displaystyle {\hat {h}}_{L}(P)=\lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {h_{L}(NP)}{N}}} が収束して h ^ L ( P ) = h L ( P ) + O ( 1 ) {\displaystyle {\hat {h}}_{L}(P)=h_{L}(P)+O(1)} を満たすが、この場合 h ^ L {\displaystyle {\hat {h}}_{L}} はモーデル・ヴェイユ群上の線型函数である。一般の可逆層に対して、対称な層と反対称な層の積として L ⊗ 2 = ( L ⊗ [ − 1 ] ∗ L ) ⊗ ( L ⊗ [ − 1 ] ∗ L − 1 ) {\displaystyle L^{\otimes 2}=(L\otimes [-1]^{*}L)\otimes (L\otimes [-1]^{*}L^{-1})} と書くとすると、 h ^ L ( P ) = 1 2 h ^ L ⊗ [ − 1 ] ∗ L ( P ) + 1 2 h ^ L ⊗ [ − 1 ] ∗ L − 1 ( P ) {\displaystyle {\hat {h}}_{L}(P)={\frac {1}{2}}{\hat {h}}_{L\otimes [-1]^{*}L}(P)+{\frac {1}{2}}{\hat {h}}_{L\otimes [-1]^{*}L^{-1}}(P)} は唯一の二次函数となり、 h ^ L ( P ) = h L ( P ) + O ( 1 ) {\displaystyle {\hat {h}}_{L}(P)=h_{L}(P)+O(1)} と h ^ L ( 0 ) = 0 {\displaystyle {\hat {h}}_{L}(0)=0} を満たす。 ネロン・テイトの高さは、付随する双線型形式が A {\displaystyle A} のネロン・セヴィリ群に属する L {\displaystyle L} の像のみに依存するにもかかわらず、アーベル多様体上の可逆層（あるいはネロン・セヴィリ群の元）の選び方に依存する。アーベル多様体 A {\displaystyle A} が数体 K 上に定義されており、可逆層が対称性をもち、かつ豊富であれば、モーデル・ヴェイユ群 A ( K ) {\displaystyle A(K)} の捩れ元の上でのみ 0 となるという意味で、ネロン・テイトの高さは正定値である。より一般に、 h ^ L {\displaystyle {\hat {h}}_{L}} は、実ベクトル空間 A ( K ) ⊗ R {\displaystyle A(K)\otimes \mathbb {R} } 上の正定値二次形式を導く。 楕円曲線上では、ネロン・セヴィリ群はランクが 1 で、かつ唯一の豊富な生成元を有するため、この生成元はネロン・テイトの高さを定義することに使われることがある。この場合には、ネロン・テイトの高さは h ^ {\displaystyle {\hat {h}}} と記し、特別な直線束を伴わない。（しかし、バーチ・スウィナートン-ダイヤー予想の中に自然に現れる高さは、この高さの2倍である。）高次元のアーベル多様体上では、ネロン・テイトの高さを定義する最小の豊富な直線束を特別に選ぶ必要はない。バーチ・スウィナートン-ダイヤー予想の記述に使う高さは、 A {\displaystyle A} と A {\displaystyle A} の双対（英語版）の積である A × A ^ {\displaystyle A\times {\hat {A}}} 上のポアンカレ直線束（英語版）(Poincaré line bundle)のネロン・テイトの高さである。
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定義と性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/21 03:52 UTC 版)
n {\displaystyle n} を自然数とする。基数 b > 1 {\displaystyle b>1} に対して b {\displaystyle b} -自己関数 F b : N → N {\displaystyle F_{b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} } を以下のように定義する: F b ( n ) = n + ∑ i = 0 k − 1 d i . {\displaystyle F_{b}(n)=n+\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}.} ここで k = ⌊ log b n ⌋ + 1 {\displaystyle k=\lfloor \log _{b}{n}\rfloor +1} は基数 b {\displaystyle b} における桁数、 d i = n mod b i + 1 − n mod b i b i {\displaystyle d_{i}={\frac {n{\bmod {b^{i+1}}}-n{\bmod {b}}^{i}}{b^{i}}}} は各桁の値。自然数 n {\displaystyle n} は F b {\displaystyle F_{b}} による n {\displaystyle n} の逆像が空集合である場合に b {\displaystyle b} -自己数である。 一般に、偶数基数において、基数より小さいすべての奇数は自己数である（ n {\displaystyle n} が一桁の場合のみを考えればよく、これらにおいて合計は偶数 2 n {\displaystyle 2n} となる）。奇数基数の場合、すべての奇数は自己数である。基数 b {\displaystyle b} における自己数の集合は無限個あり、その自然密度は正の値となる。 b {\displaystyle b} が奇数の場合、密度は1/2である。
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定義と性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/19 17:59 UTC 版)
a, b (a > 0, b > 0) をパラメータ、実数 x (x ≥ b) を確率変数とするときのパレート分布の確率密度関数は以下の式で定義される。（注：右InfoBoxでは α = a, Xm = b） a / b ( x / b ) a + 1 {\displaystyle {\frac {a/b}{(x/b)^{a+1}}}} このとき、期待値は a b a − 1 for a > 1 {\displaystyle {\frac {ab}{a-1}}{\mbox{ for }}a>1} 、分散は a b 2 ( a − 1 ) 2 ( a − 2 ) for a > 2 {\displaystyle {\frac {ab^{2}}{(a-1)^{2}(a-2)}}{\mbox{ for }}a>2} である。
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定義と性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2014/04/29 18:41 UTC 版)
実数直線に含まれるルベーグ可測集合上で定義され、 に値を取るある測度 が離散的であるとは、（有限である）数列 を満たすようなものが存在することを言う。 実数直線上の離散測度の例として最も簡単なものは、ディラックのデルタ関数 である。実際 および が成立している。 より一般に、 が（有限の）実数列であるなら、 は同じ長さの 内の数列で、次のように定義されるディラック測度を考えることが出来る。 は離散測度となる。実際、実数直線上の任意の離散測度は、列 および を適切に選ぶことによって、このような形状になることを証明出来る。
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定義と性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/01/04 14:52 UTC 版)
互いに独立な n 個の p 変量の確率ベクトル x 1 , x 2 , … , x n {\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{1},{\boldsymbol {x}}_{2},\dotsc ,{\boldsymbol {x}}_{n}} が、平均が 0、共分散行列が Σ {\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}} の多変量正規分布 N ( 0 , Σ ) {\displaystyle N(0,{\boldsymbol {\Sigma }})} に従うとき、 A = ∑ i = 1 n x i x i ′ {\displaystyle {\boldsymbol {A}}=\sum _{i=1}^{n}{\boldsymbol {x}}_{i}{\boldsymbol {x}}_{i}'} は自由度 n のウィッシャート分布に従う。ここで n ≥ p である。ウィッシャート分布は、 p , n , Σ {\displaystyle p,n,{\boldsymbol {\Sigma }}} をパラメータとして W ( Σ , p , n ) {\displaystyle W({\boldsymbol {\Sigma }},p,n)} と表記されることがあり、分布の分布を表すモデルである、と言える。 ウィッシャート分布の確率密度関数は以下の式で定義される。 f ( A ) = | A | ( n − p − 1 ) / 2 exp { − 1 2 tr ( Σ − 1 A ) } 2 p n / 2 π p ( p − 1 ) / 4 | Σ | n / 2 ∏ i = 1 p Γ ( n − i + 1 2 ) {\displaystyle f({\boldsymbol {A}})={\frac {|{\boldsymbol {A}}|^{(n-p-1)/2}\exp \left\{-{\dfrac {1}{2}}\operatorname {tr} \left({\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}{\boldsymbol {A}}\right)\right\}}{2^{pn/2}\pi ^{p(p-1)/4}|{\boldsymbol {\Sigma }}|^{n/2}\prod _{i=1}^{p}\Gamma \left({\dfrac {n-i+1}{2}}\right)}}} tr {\displaystyle \operatorname {tr} } は行列のトレースである。このとき、期待値は n Σ {\displaystyle n{\boldsymbol {\Sigma }}} 、分散共分散行列は 2 n Σ ⊗ Σ {\displaystyle 2n{\boldsymbol {\Sigma }}\otimes {\boldsymbol {\Sigma }}} である。 A , Σ {\displaystyle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {\Sigma }}} の成分をそれぞれ a i j , σ i j {\displaystyle a_{ij},\sigma _{ij}} と表し、p = 1 の場合を考え、 a 11 / σ 11 = χ 2 {\displaystyle a_{11}/\sigma _{11}=\chi ^{2}} と置くと、ウィッシャート分布の確率密度関数は以下の形に表され、ウィッシャート分布がカイ二乗分布を多変量に拡張したものであることが分かる。 f ( a 11 ) = a 11 n / 2 − 1 exp ( − a 11 2 σ 11 ) 2 n / 2 σ 11 n / 2 Γ ( n 2 ) = 1 2 n / 2 Γ ( n 2 ) ( χ 2 ) n / 2 − 1 exp ( − χ 2 2 ) {\displaystyle f(a_{11})={\frac {a_{11}^{n/2-1}\exp \left(-{\dfrac {a_{11}}{2\sigma _{11}}}\right)}{2^{n/2}\sigma _{11}^{n/2}\Gamma \left({\dfrac {n}{2}}\right)}}={\frac {1}{2^{n/2}\Gamma \left({\dfrac {n}{2}}\right)}}(\chi ^{2})^{n/2-1}\exp \left(-{\frac {\chi ^{2}}{2}}\right)}
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定義と性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/03/28 03:20 UTC 版)
確率変数を実数 x (x ≥ 0) とするときのレイリー分布の確率密度関数は以下の式で定義される。 x σ 2 exp ( − x 2 2 σ 2 ) {\displaystyle {\frac {x}{\sigma ^{2}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)} 期待値は σ π 2 {\displaystyle \sigma {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}} 、分散は ( 2 − π 2 ) σ 2 {\displaystyle \left(2-{\frac {\pi }{2}}\right)\sigma ^{2}} である。 確率変数の観測値が Xi として得られたとき、パラメータ σ の最尤推定値は σ ^ = 1 2 n ∑ i = 1 n X i 2 {\displaystyle {\hat {\sigma }}={\sqrt {{\frac {1}{2n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}^{2}}}} である。
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定義と性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2016/03/14 18:32 UTC 版)
「バナッハ・マズール・ゲーム」の記事における「定義と性質」の解説
一般的なバナッハ・マズール・ゲームの定義は次のようにする: 位相空間 , 固定された部分集合 , の部分集合族 が次の性質を満たしているとする。 の各元は空でない内部を持つ。 の空でない開集合は の元を部分集合として含む。 ここで、ゲーム を次のように定める。二人のプレイヤー と は交互に の元 , , を、 が成り立つように取っていく。 が勝つのは であるときかつ、そのときのみである。 このとき、以下のことが成り立つ。 であるのは が において 第一類 (集合が第一類とかmeagerであるとは、それが nowhere-dense な集合の可算和として得られること。)であるとき、かつそのときのみである。 が完備距離空間であるとすると、 であるのは、 の空でないある開部分集合の中に がresidual(なんらかのmeager setの補集合であること)であるとき、かつそのときのみである。 が でBaire propertyを持つとき、 はdeterminedである。 のいかなるwinning strategy(必勝戦略)も、stationaryなwinning strategyとして実現できる。
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定義と性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/07/20 14:59 UTC 版)
空間変数x と時間変数t と実数値関数u (x, t )に対し、 ∂ 2 u ∂ t 2 − ∂ 2 u ∂ x 2 + γ u = 0 {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+\gamma u=0} で与えられる双曲型の2階偏微分方程式を電信方程式という。特にγ=0である場合は、通常の波動方程式に相当する。 より一般的にn次元の空間変数x=(x1,…,xn) と時間変数t の実数値関数u (x, t )に対し、 ∂ 2 u ∂ t 2 − ∇ 2 u + γ u = 0 {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}u+\gamma u=0} で与えられる偏微分方程式も電信方程式という。但し、∇2はn次元におけるラプラス作用素 ∇ 2 = ∂ 2 ∂ x 1 2 + ∂ 2 ∂ x 2 2 + ⋯ + ∂ 2 ∂ x n 2 {\displaystyle \nabla ^{2}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{\,2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{2}^{\,2}}}+\cdots +{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{n}^{\,2}}}} である。 標準形 電信方程式は、時間t についての一階の導関数や物理的な係数を含んだ形で、 [ 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 − ∇ 2 + 1 κ 2 ∂ ∂ t + μ 2 ] u ( x , t ) = 0 {\displaystyle \left[{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}+{\frac {1}{\kappa ^{2}}}{\frac {\partial }{\partial t}}+\mu ^{2}\right]u({\boldsymbol {x}},t)=0} という形式で表現される場合が多い。このような場合でも χ ( x , t ) = e c 2 2 κ 2 t ⋅ u ( x , t ) , s = c t , γ = μ 2 − c 2 4 κ 2 {\displaystyle \chi ({\boldsymbol {x}},t)=e^{{\frac {c^{2}}{2\kappa ^{2}}}t}\cdot u({\boldsymbol {x}},t),\quad s=ct,\quad \gamma =\mu ^{2}-{\frac {c^{2}}{4\kappa ^{2}}}} という変換にて、 ∂ 2 χ ∂ s 2 − ∇ 2 χ + γ χ = 0 {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\chi }{\partial s^{2}}}-\nabla ^{2}\chi +\gamma \chi =0} となり、上記の形式に帰着される。
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定義と性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/01/03 10:17 UTC 版)
切断ガンマ分布の確率密度関数は以下で定義される。 f ( x ; k , θ , z ) = x k − 1 exp ( − x / θ ) ∫ 0 z t k − 1 exp ( − t / θ ) d t , 0 ≤ x ≤ z {\displaystyle f(x;k,\theta ,z)={\frac {x^{k-1}\exp(-x/\theta )}{\int _{0}^{z}t^{k-1}\exp(-t/\theta )\,dt}},~0\leq x\leq z}
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定義と性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/02/07 05:34 UTC 版)
確率行列は、要素が有限個の状態空間 S （濃度 S {\displaystyle S} ）上のマルコフ連鎖 X t {\displaystyle {\boldsymbol {X}}_{t}} を記述する。 1ステップで状態 i {\displaystyle i} から状態 j {\displaystyle j} へ遷移する確率が P r ( j | i ) = P i , j {\displaystyle Pr(j|i)=P_{i,j}} であるとき、確率行列 P {\displaystyle P} は i {\displaystyle i} 行・ j {\displaystyle j} 列成分を P i , j {\displaystyle P_{i,j}} とする行列で与えられる。例えば、 P = [ P 1 , 1 P 1 , 2 … P 1 , j … P 1 , S P 2 , 1 P 2 , 2 … P 2 , j … P 2 , S ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋱ ⋮ P i , 1 P i , 2 … P i , j … P i , S ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋱ ⋮ P S , 1 P S , 2 … P S , j … P S , S ] {\displaystyle P=\left[{\begin{matrix}P_{1,1}&P_{1,2}&\dots &P_{1,j}&\dots &P_{1,S}\\P_{2,1}&P_{2,2}&\dots &P_{2,j}&\dots &P_{2,S}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\P_{i,1}&P_{i,2}&\dots &P_{i,j}&\dots &P_{i,S}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\P_{S,1}&P_{S,2}&\dots &P_{S,j}&\dots &P_{S,S}\\\end{matrix}}\right]} 状態 i {\displaystyle i} から次の状態へ遷移する確率の総和は1なので、 ∑ j = 1 S P i , j = 1 {\displaystyle \sum _{j=1}^{S}P_{i,j}=1} となり右確率行列であるための条件を満たす:1-8。 行列 P {\displaystyle P} の各 i {\displaystyle i} 行成分の和は P 1 = 1 {\displaystyle P\mathbf {1} =\mathbf {1} } とより簡潔に書くこともできる。ここで 1 {\displaystyle \mathbf {1} } は全ての成分が1の S {\displaystyle S} 次元列ベクトル。これを使うと、2つの確率行列 P ′ {\displaystyle P^{\prime }} , P ′ ′ {\displaystyle P^{\prime \prime }} の積もまた右確率的であることがわかる： P ′ P ′ ′ 1 = P ′ ( P ′ ′ 1 ) = P ′ 1 = 1 {\displaystyle P^{\prime }P^{\prime \prime }\mathbf {1} =P^{\prime }(P^{\prime \prime }\mathbf {1} )=P^{\prime }\mathbf {1} =\mathbf {1} } 一般に、確率行列 P {\displaystyle P} の k {\displaystyle k} 乗 P k {\displaystyle P^{k}} もまた確率行列である。状態 i {\displaystyle i} から状態 j {\displaystyle j} へ2ステップで遷移する確率は P 2 {\displaystyle P^{2}} の第 ( i , j ) {\displaystyle (i,j)} 成分 ( P 2 ) i , j {\displaystyle \left(P^{2}\right)_{i,j}} に等しく、さらに一般に、ある状態から次の状態へ k ステップで遷移する確率は P k {\displaystyle P^{k}} で与えられる。 初期状態の確率分布（系がどのような状態をどのような確率でとっているか）は行ベクトルとして与えられる。 定常（stationary）確率ベクトル π {\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}} とは、右確率行列が右から作用しても不変な行確率ベクトルのことである。つまり、集合 { 1 , . . . , n } {\displaystyle \{1,...,n\}} 上の確率分布であって、左固有値1に対する左固有ベクトルとなるもののことである： π P = π {\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}P={\boldsymbol {\pi }}} 任意の右確率行列のスペクトル半径の最大値は1であることがゲルシュゴリンの定理によりわかる。また右固有値1に対する右固有ベクトル 1 {\displaystyle {\boldsymbol {1}}} が存在することは明らかである。正方行列に対する右固有値と左固有値は一致するから、右確率行列に対して左固有値1が存在し、全ての左固有値の絶対値が1以下であることも同時に分かる。 行確率ベクトルに右確率行列を右から作用させて得られる行ベクトルもやはり確率ベクトルであるから、（各成分が非負で和が1に等しい n次元実ベクトル全体がコンパクト凸集合をなすことに注意すると）ブラウワーの不動点定理より定常な確率ベクトルが少なくとも一つは存在することが分かる。 一方でペロン＝フロベニウスの定理によっても、任意の既約な確率行列（任意の ( i , j ) {\displaystyle (i,j)} に対し P N {\displaystyle P^{N}} の第 ( i , j ) {\displaystyle (i,j)} 成分が正になる自然数 N {\displaystyle N} が存在するような行列。行列の既約性を参照）が定常な確率ベクトルを持ち、固有値の絶対値の最大値が1となることが分かる。しかし、この定理は既約であるとは限らない確率行列には直接的に適用できない。 一般に定常な確率ベクトルは複数存在するかもしれないが、確率行列の全ての成分が正であれば（より一般的には、確率行列が既約かつ非周期的（エルゴード的（英語版）（ergodic））であれば）、このようなベクトルは一意的であり、任意の状態 i {\displaystyle i} に対し次の極限をとることで計算できる。 lim k → ∞ ( P k ) i , j = π j {\displaystyle \lim _{k\rightarrow \infty }\left(P^{k}\right)_{i,j}={\boldsymbol {\pi }}_{j}} ここで π j {\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}_{j}} は行ベクトル π {\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}} の第 j {\displaystyle j} 成分。これより、長期的に見たとき状態 j {\displaystyle j} に到る確率は初期状態 i {\displaystyle i} に依らないことが分かる。どのような初期分布から計算しても極限では同一の定常分布に到るという事実はエルゴード定理の一形態であり、多様な散逸構造（系が時間発展し、安定的な状態に達する）において一般的に成り立っている。 直観的には確率行列はマルコフ連鎖を表し、（行ベクトルとしての）確率分布に右確率行列を右から作用させることは、元の分布の確率質量を（総和1を保ちつつ）次の確率分布へ再分配することに相当する。この作用を反復していくとマルコフ連鎖の定常状態に収束する:55–59。
※この「定義と性質」の解説は、「確率行列」の解説の一部です。
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