変形ベッセル関数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/01 02:20 UTC 版)
ベッセル関数は x {\displaystyle \displaystyle x} の複素数値に対しても適切に定義されており、応用上は x {\displaystyle \displaystyle x} が純虚数の場合が特に重要である。この場合、ベッセルの微分方程式への解は第1種及び第2種の変形ベッセル関数と呼ばれ、以下のように定義される。 I α ( x ) = i − α J α ( i x ) = ∑ m = 0 ∞ 1 m ! Γ ( m + α + 1 ) ( x 2 ) 2 m + α {\displaystyle \displaystyle I_{\alpha }(x)=i^{-\alpha }J_{\alpha }(ix)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {1}{m!\Gamma (m+\alpha +1)}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{2m+\alpha }} K α ( x ) = π 2 I − α ( x ) − I α ( x ) sin ( α π ) = π 2 i α + 1 H α ( 1 ) ( i x ) . {\displaystyle K_{\alpha }(x)={\frac {\pi }{2}}{\frac {I_{-\alpha }(x)-I_{\alpha }(x)}{\sin(\alpha \pi )}}={\frac {\pi }{2}}i^{\alpha +1}H_{\alpha }^{(1)}(ix).} これらの関数は、 x {\displaystyle \displaystyle x} が実数のときに関数値が実数となるように定義されている。またこれらの関数は、変形されたベッセルの微分方程式 x 2 d 2 y d x 2 + x d y d x − ( x 2 + α 2 ) y = 0. {\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}-(x^{2}+\alpha ^{2})y=0.} に対する2つの線形独立な解を与えている。 第1種変形ベッセル関数 第2種変形ベッセル関数 変形ベッセル関数には以下の性質がある。ここで、n は正の整数またはゼロ。 I − n ( x ) = I n ( x ) K − α ( x ) = K α ( x ) {\displaystyle {\begin{aligned}&I_{-n}(x)=I_{n}(x)\\&K_{-\alpha }(x)=K_{\alpha }(x)\\\end{aligned}}} K n + 1 / 2 ( x ) = ( π 2 x ) 1 / 2 exp ( − x ) ∑ r = 0 n ( n + r ) ! r ! ( n − r ) ! ( 2 x ) − r {\displaystyle {\begin{aligned}&K_{n+1/2}(x)=\left({\frac {\pi }{2x}}\right)^{1/2}\exp(-x)\sum _{r=0}^{n}{{\frac {(n+r)!}{r!(n-r)!}}(2x)^{-r}}\end{aligned}}}
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