他の特殊関数との関係
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/07 06:59 UTC 版)
「エアリー関数」の記事における「他の特殊関数との関係」の解説
正の引数に対して、エアリー関数は変形ベッセル関数と Ai ( x ) = 1 π x 3 K 1 / 3 ( 2 x 3 / 2 / 3 ) , Bi ( x ) = x 3 ( I 1 / 3 ( 2 x 3 / 2 / 3 ) + I − 1 / 3 ( 2 x 3 / 2 / 3 ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ai} (x)&={\frac {1}{\pi }}{\sqrt {\frac {x}{3}}}\,K_{1/3}(2x^{3/2}/3),\\[8pt]\operatorname {Bi} (x)&={\sqrt {\frac {x}{3}}}\left(I_{1/3}(2x^{3/2}/3)+I_{-1/3}(2x^{3/2}/3)\right)\end{aligned}}} なる関係を持つ。ここで I±1/3, K1/3 は x2y" + xy' − (x2 + 1⁄9)y = 0 の解である。エアリー函数の一階微分は Ai ′ ( x ) = − x π 3 K 2 / 3 ( 2 x 3 / 2 / 3 ) {\displaystyle \operatorname {Ai} '(x)=-{\frac {x}{\pi {\sqrt {3}}}}\,K_{2/3}(2x^{3/2}/3)} であり、函数 K1/3 および K2/3 は急速に収束する積分によって表すことができる（変形ベッセル函数の項も参照）。 負の引数に対して、エアリー関数はベッセル関数と Ai ( − x ) = x 9 ( J 1 / 3 ( 2 x 3 / 2 / 3 ) + J − 1 / 3 ( 2 x 3 / 2 / 3 ) ) , Bi ( − x ) = x 3 ( J − 1 / 3 ( 2 x 3 / 2 / 3 ) − J 1 / 3 ( 2 x 3 / 2 / 3 ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ai} (-x)&={\sqrt {\frac {x}{9}}}\left(J_{1/3}(2x^{3/2}/3)+J_{-1/3}(2x^{3/2}/3)\right),\\[8pt]\operatorname {Bi} (-x)&={\sqrt {\frac {x}{3}}}\left(J_{-1/3}(2x^{3/2}/3)-J_{1/3}(2x^{3/2}/3)\right)\end{aligned}}} なる関係を持つ。ここに J±1/3 は x2y" + xy' + (x2 − 1⁄9)y = 0 の解。 スコアラーの関数（英語版）（y" − xy = 1/π の解）もまたエアリー函数を用いて Gi ( x ) = Bi ( x ) ∫ x ∞ Ai ( t ) d t + Ai ( x ) ∫ 0 x Bi ( t ) d t , Hi ( x ) = Bi ( x ) ∫ − ∞ x Ai ( t ) d t − Ai ( x ) ∫ − ∞ x Bi ( t ) d t {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Gi} (x)&=\operatorname {Bi} (x)\int _{x}^{\infty }\operatorname {Ai} (t){\mathit {dt}}+\operatorname {Ai} (x)\int _{0}^{x}\operatorname {Bi} (t){\mathit {dt}},\\[8pt]\operatorname {Hi} (x)&=\operatorname {Bi} (x)\int _{-\infty }^{x}\operatorname {Ai} (t){\mathit {dt}}-\operatorname {Ai} (x)\int _{-\infty }^{x}\operatorname {Bi} (t){\mathit {dt}}\end{aligned}}} と書くこともできる。
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