負の引数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/20 19:02 UTC 版)
通常の階乗函数は（ガンマ函数に拡張して）各負の整数の位置に極を持ち、それらの数へ階乗を延長することは妨げられる。しかし奇数の二重階乗は、その漸化式 n ! ! = n × ( n − 2 ) ! ! {\textstyle n!!=n\times (n-2)!!} を逆に解いて n ! ! = ( n + 2 ) ! ! n + 2 {\displaystyle n!!={\frac {(n+2)!!}{n+2}}} と書くことにより、任意の負の奇数に延長することができる。この逆向きの漸化式を用いれば、−1!! = 1, −3!! = −1, −5!! = 1/3 などが計算でき、これ以降の（絶対値がより大きい）負の奇数に対して、その二重階乗は全て分数である。特に、正の奇数 n に対し ( − n ) ! ! × n ! ! = ( − 1 ) n − 1 2 × n {\displaystyle (-n)!!\times n!!=(-1)^{\frac {n-1}{2}}\times n} が言える。
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