特殊関数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/03/04 04:58 UTC 版)
特殊関数（とくしゅかんすう、英: special functions）は、何らかの名前や記法が定着している関数であり、解析学、関数解析学、可積分系、物理学、その他の応用分野でよく使われる関数であることが多い[1]。
- ^ a b c d e f g h i 時弘哲治、工学における特殊関数、共立出版。
- ^ a b c Watson, G. N. (1995). A treatise on the theory of Bessel functions. en:Cambridge university press.
- ^ a b c 平野鉄太郎. (1963). ベッセル関数入門, 日新出版.
- ^ 松本耕二. (2005). リーマンのゼータ関数. 朝倉書店.
- ^ 荒川恒男, 伊吹山知義, & 金子昌信. (2001). ベルヌーイ数とゼータ関数. 牧野書店.
- ^ a b 梅村浩. (2000). 楕円関数論: 楕円曲線の解析学, 東京大学出版会.
- ^ a b 戸田盛和. (2001). 楕円関数入門, 日本評論社.
- ^ 原岡喜重. (2002). 超幾何関数. 朝倉書店.
- ^ 木村弘信: 超幾何関数入門——特殊関数への統一的視点からのアプローチ——, サイエンス社, 2007年.
- ^ Aomoto, K., Kita, M., Kohno, T., & Iohara, K. (2011). Theory of hypergeometric functions. Tokyo: Springer.
- ^ a b Exton, Harold (1976), Multiple hypergeometric functions and applications, Mathematics and its applications, Chichester: Ellis Horwood Ltd., ISBN 978-0-470-15190-7, MR0422713
- ^ a b Exton, Harold (1978), Handbook of hypergeometric integrals, Mathematics and its Applications, Chichester: Ellis Horwood Ltd., ISBN 978-0-85312-122-0, MR0474684
- ^ a b Exton, Harold (1983), q-hypergeometric functions and applications, Ellis Horwood Series: Mathematics and its Applications, Chichester: Ellis Horwood Ltd., ISBN 978-0-85312-491-7, MR708496
- ^ a b c Ismail, Mourad E. H. (2005). Classical and Quantum Orthogonal Polynomials in One Variable. Cambridge: en:Cambridge University Press. ISBN 0-521-78201-5
- ^ a b 青本和彦: 直交多項式入門, 数学書房, 2013 年.
- ^ a b c Koekoek, R., & Swarttouw, R. F. (1996). The Askey-scheme of hypergeometric orthogonal polynomials and its -analogue. arXiv preprint math/9602214.
- ^ a b c Encyclopedia of Special Functions: The Askey–Bateman Project, Encyclopedia of Special Functions: The Askey–Bateman Project, Volume 1: Univariate Orthogonal Polynomials, Edited by Mourad E. H. Ismail, University of Central Florida, Published by en:Cambridge University Press, March 2020, ISBN 9780511979156.
- ^ 例えばパンルヴェ方程式の厳密解はパンルヴェ超越関数 (en:Painleve transcendent) という特殊関数になる。
- ^ Gradshtein, Israel Solomonovich; Iosif Moiseevich Ryzhik.. Table of integrals, sums, series and products. en:Academic press
- ^ Abramovitz, Milton; Irene Stegun. Table of mathematical functions
- ^ MATLABにある特殊関数の一覧
- ^ Mapleにある特殊関数の一覧
- ^ Mathematicaにある特殊関数の一覧
- ^ a b c 神保道夫、複素関数入門、岩波書店。
- ^ ロシアでの微積分の用語、Researchmapより
- ^ a b Olver, F. (1997). Asymptotics and special functions. AK Peters/CRC Press.
- ^ 収束が遅いときには収束加速法を使うことで収束が早くなる場合がある。
- ^ a b Gasper and Rahman, Basic Hypergeometric Series 2nd Edition, en:Cambridge University Press.
- ^ Ismail, M. E., & Zhang, R. (2017). A review of multivariate orthogonal polynomials. Journal of the Egyptian Mathematical Society, 25(2), 91-110.
- ^ a b Andrews, G. E., Askey, R., & Roy, R. (1999). Special functions. en:Cambridge university press.
- ^ Askey, Richard; Wilson, James (1985), "Some basic hypergeometric orthogonal polynomials that generalize Jacobi polynomials", Memoirs of the en:American Mathematical Society, 54 (319): iv+55, doi:10.1090/memo/0319, ISBN 978-0-8218-2321-7, ISSN 0065-9266, MR 0783216
- ^ Askey-Bateman project
特殊関数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/01/19 15:06 UTC 版)
代表的な特殊関数、具体的には ガンマ関数 エアリー関数 ベッセル関数 直交多項式 超幾何級数 などの関数、もしくはそのq類似についても行列バージョンを考えることができる。例えば、行列からなる無限乗積の収束を適切に定義したうえで、qポッホハマー記号の行列バージョンは次のように定義できる。 ( A ; q ) n := ∏ k = 0 n − 1 ( I − A q k ) , ( A ; q ) ∞ := lim n → ∞ ( A ; q ) n , | q | < 1 , A ∈ C n × n {\displaystyle (A;q)_{n}\!:=\!\prod _{k=0}^{n-1}(I-Aq^{k}),\quad (A;q)_{\infty }\!:=\!\lim _{n\to \infty }(A;q)_{n},\quad |q|<1,\quad A\in \mathbb {C} ^{n\times n}} これを使って、en:q-gamma functionの行列バージョンも導入できる。 Γ q ( A ) := ( q ; q ) ∞ ( q A ; q ) ∞ − 1 ( 1 − q ) I − A , | q | < 1 {\displaystyle \Gamma _{q}(A):=(q;q)_{\infty }(q^{A};q)_{\infty }^{-1}(1-q)^{I-A},\quad |q|<1}
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特殊関数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/04 01:27 UTC 版)
加速法によって複素関数をより広い領域で計算可能になるので、一種の解析接続と見なすことも可能である。加速法は誤差関数などの特殊関数への計算に応用可能である。
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特殊関数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/25 02:35 UTC 版)
「ISO 80000-2」の記事における「特殊関数」の解説
番号記号意味備考2-19.1 γC オイラーの定数 γ := lim n → ∞ ( ∑ k = 1 n 1 k − ln ( n ) ) {\displaystyle \gamma :=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln(n)\right)} = 0.577 215 6... 2-19.2 Γ(z) ガンマ関数 Γ(z)は 0, −1, −2, ... に極を持つ有理型関数である。 Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ t z − 1 e − t d t {\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\mathrm {d} t} (Re z > 0) Γ ( n + 1 ) = n ! {\displaystyle \Gamma (n+1)=n!} (n ∈ N) 2-19.3 ζ(z) リーマンゼータ関数 ζ(z)はz = 1 に極を持つ有理型関数である。 ζ ( z ) = ∑ n = 1 ∞ 1 z s {\displaystyle \zeta (z)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{z^{s}}}} 2-19.4 Β(z, w) ベータ関数 B ( z , w ) = ∫ 0 1 t z − 1 ( 1 − t ) w − 1 d t {\displaystyle \operatorname {\mathrm {B} } (z,w)=\int _{0}^{1}t^{z-1}(1-t)^{w-1}\,dt} (Re z > 0, Re w > 0) 2-19.5 Ei x 指数積分 Ei x = − ∫ − ∞ x e t t d t {\displaystyle \operatorname {Ei} x=-\!\!\!\!\!\!\int _{-\infty }^{x}{\frac {e^{t}}{t}}\,\mathrm {d} t} 2-19.6 li x 対数積分 li x = ∫ 0 x 1 ln t d t {\displaystyle \operatorname {li} x=\int _{0}^{x}{\frac {1}{\ln t}}\,\mathrm {d} t} (0 < x <1) li x=− ∫ 0 x 1 ln t d t {\displaystyle \operatorname {li} x=-\!\!\!\!\!\!\int _{0}^{x}{\frac {1}{\ln t}}\,\mathrm {d} t} (x> 1) 2-19.7 Si z 正弦積分 Si z = ∫ 0 z sin t t d t {\displaystyle \operatorname {Si} z=\int _{0}^{z}{\frac {\sin t}{t}}\mathrm {d} t} si z = − π 2 + Si z {\displaystyle \operatorname {si} z=-{\frac {\pi }{2}}+\operatorname {Si} z} を相補正弦積分という。 2-19.8 S(z)C(z) フレネル積分 S ( x ) = ∫ 0 x sin ( t 2 ) d t {\displaystyle S(x)=\int _{0}^{x}\sin(t^{2})\,dt} C ( x ) = ∫ 0 x cos ( t 2 ) d t {\displaystyle C(x)=\int _{0}^{x}\cos(t^{2})\,dt} 2-19.9 erf x 誤差関数 erf ( x ) = 2 π ∫ − ∞ x e − t 2 d t {\displaystyle \operatorname {erf} \left(x\right)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{-\infty }^{x}e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t} erfc(x) = 1 − erf(x) を相補誤差関数という。統計学では、派生した関数 Φ ( x ) = 2 π ∫ 0 x e − t 2 / 2 d t {\displaystyle \Phi (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}/2}\,\mathrm {d} t} が使われる。 2-19.10 F(ψ, k) 第一種（不完全）楕円積分 F ( φ , k ) = ∫ 0 φ 1 1 − k 2 sin 2 θ d θ {\displaystyle F(\varphi ,k)=\int _{0}^{\varphi }{{\frac {1}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}d\theta }} K(k) = F(π/2, k) (0 < k < 1, k ∈ R)を第一種完全楕円積分という。 2-19.11 E(ψ, k) 第二種（不完全）楕円積分 E ( φ , k ) = ∫ 0 φ 1 − k 2 sin 2 θ d θ {\displaystyle E(\varphi ,k)=\int _{0}^{\varphi }{{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}d\theta }} E(k) = E(π/2, k) (0 < k < 1, k ∈ R)を第二種完全楕円積分という。 2-19.12 Π(n, ψ, k) 第三種（不完全）楕円積分 Π ( n ; φ , k ) = ∫ 0 φ 1 ( 1 − n sin 2 θ ) 1 − k 2 sin 2 θ d θ {\displaystyle \Pi (n;\varphi ,k)=\int _{0}^{\varphi }{{\frac {1}{(1-n\sin ^{2}\theta ){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}}d\theta }} Π(n, k) = Π(n, π/2, k) (0 < k < 1, k ∈ R) を第三種完全楕円積分という。 2-19.13 F(a, b, c; z) 超幾何関数 F ( a , b , c ; z ) = ∑ n = 0 ∞ ( a ) n ( b ) n z n ( c ) n n ! {\displaystyle \mathrm {F} (a,b,c;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a)_{n}(b)_{n}z^{n}}{(c)_{n}\;n!}}} 2-19.14 F(a; c; z) 合流型超幾何関数（英語版） F ( a ; c ; z ) = ∑ n = 0 ∞ ( a ) n ( c ) n n ! z n {\displaystyle \mathrm {F} (a;c;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a)_{n}}{(c)_{n}\;n!}}z^{n}} 2-19.15 Pn(z) ルジャンドル多項式 P n ( z ) = 1 2 n n ! d n d z n ( z 2 − 1 ) n {\displaystyle \mathrm {P} _{n}(z)={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} z^{n}}}\left(z^{2}-1\right)^{n}} 2-19.16 P n m ( z ) {\displaystyle \mathrm {P} _{n}^{m}(z)} 随伴ルジャンドル多項式（英語版） P n m ( z ) = ( − 1 ) m ( 1 − z 2 ) m / 2 d m d z m P n ( z ) {\displaystyle \mathrm {P} _{n}^{m}(z)=(-1)^{m}\left(1-z^{2}\right)^{m/2}{\frac {\mathrm {d} ^{m}}{\mathrm {d} z^{m}}}\mathrm {P} _{n}(z)} (m, n ∈N, m ≦ n) 2-19.17 Y l m ( θ , ϕ ) {\displaystyle \mathrm {Y} _{l}^{m}(\theta ,\phi )} 球面調和関数 Y l m ( θ , ϕ ) = ( − 1 ) ( m + | m | ) / 2 2 l + 1 4 π ( l − | m | ) ! ( l + | m | ) ! P l | m | ( cos θ ) e i m ϕ {\displaystyle \mathrm {Y} _{l}^{m}(\theta ,\phi )=(-1)^{(m+|m|)/2}{\sqrt {{\frac {2l+1}{4\pi }}{\frac {(l-|m|)!}{(l+|m|)!}}\,}}\mathrm {P} _{l}^{|m|}(\cos \theta )\,\mathrm {e} ^{\mathrm {i} m\phi }} 2-19.18 Hn(z) エルミート多項式 H n ( z ) = ( − 1 ) n e z 2 d n d z n e − z 2 {\displaystyle H_{n}(z)=(-1)^{n}e^{z^{2}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} z^{n}}}e^{-z^{2}}} 2-19.19 Ln(z) ラゲール多項式 L n ( z ) = e z d n d z n ( z n e − z ) {\displaystyle \mathrm {L} _{n}(z)=\mathrm {e} ^{z}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} z^{n}}}(z^{n}e^{-z})} (n ∈N) 2-19.20 L n m ( z ) {\displaystyle \mathrm {L} _{n}^{m}(z)} ラゲール陪多項式 L n m ( z ) = d m d z m L n ( z ) {\displaystyle \mathrm {L} _{n}^{m}(z)={\frac {\mathrm {d} ^{m}}{\mathrm {d} z^{m}}}\mathrm {L} _{n}(z)} (m ∈N, m ≦ n) 2-19.21 Tn(z) 第一種チェビシェフ多項式 Tn(z) = cos(n arccos z) (n ∈N) 2-19.22 Un(z) 第二種チェビシェフ多項式 U n ( z ) = sin [ ( n + 1 ) arccos z ] sin ( arccos z ) {\displaystyle \mathrm {U} _{n}(z)={\frac {\sin[(n+1)\arccos z]}{\sin(\arccos z)}}} (n ∈N) 2-19.23 Jv(z) 第一種円柱ベッセル関数 J v ( z ) = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k ( z / 2 ) v + 2 k k ! Γ ( v + k + 1 ) {\displaystyle \mathrm {J} _{v}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(z/2)^{v+2k}}{k!\Gamma (v+k+1)}}} (v ∈C) 2-19.24 Nv(z) 第二種円柱ノイマン関数 N v ( z ) = J v ( z ) cos ( v π ) − J − v ( z ) sin ( v π ) {\displaystyle \mathrm {N} _{v}(z)={\frac {\mathrm {J} _{v}(z)\cos(v\pi )-\mathrm {J} _{-v}(z)}{\sin(v\pi )}}} (v ∈C) 2-19.25 H v ( 1 ) ( z ) {\displaystyle \mathrm {H} _{v}^{(1)}(z)} H v ( 2 ) ( z ) {\displaystyle \mathrm {H} _{v}^{(2)}(z)} 第三種円柱ハンケル関数 H v ( 1 ) ( z ) = J v ( z ) + i N v ( z ) {\displaystyle \mathrm {H} _{v}^{(1)}(z)=\mathrm {J} _{v}(z)+i\mathrm {N} _{v}(z)} H v ( 2 ) ( z ) = J v ( z ) − i N v ( z ) {\displaystyle \mathrm {H} _{v}^{(2)}(z)=\mathrm {J} _{v}(z)-i\mathrm {N} _{v}(z)} (v ∈C) 2-19.26 Iv(z)Kv(z) 変形ベッセル関数 I v ( z ) = e − 1 2 i v π J v ( e 1 2 i π z ) {\displaystyle \mathrm {I} _{v}(z)=e^{-{\frac {1}{2}}iv\pi }\mathrm {J} _{v}\left(e^{{\frac {1}{2}}i\pi }z\right)} K v ( z ) = i π 2 e 1 2 i v π H v ( 1 ) ( e 1 2 i π z ) {\displaystyle \mathrm {K} _{v}(z)={\frac {i\pi }{2}}e^{{\frac {1}{2}}iv\pi }\mathrm {H} _{v}^{(1)}\left(e^{{\frac {1}{2}}i\pi }z\right)} 2-19.27 jl(z) 球ベッセル関数 j l ( z ) = ( π 2 z ) 1 2 J l + 1 / 2 ( z ) {\displaystyle \mathrm {j} _{l}(z)=\left({\frac {\pi }{2z}}\right)^{\frac {1}{2}}\mathrm {J} _{l+1/2}(z)} (l ∈N) 2-19.28 nl(z) 球ノイマン関数 n l ( z ) = ( π 2 z ) 1 2 N l + 1 / 2 ( z ) {\displaystyle \mathrm {n} _{l}(z)=\left({\frac {\pi }{2z}}\right)^{\frac {1}{2}}\mathrm {N} _{l+1/2}(z)} (l ∈N)yl(z) も使われる。 2-19.29 h l ( 1 ) ( z ) {\displaystyle \mathrm {h} _{l}^{(1)}(z)} h l ( 2 ) ( z ) {\displaystyle \mathrm {h} _{l}^{(2)}(z)} 球ハンケル関数 h l ( 1 ) ( z ) = j l ( z ) + i n l ( z ) = ( π 2 z ) 1 2 H l + 1 / 2 ( 1 ) ( z ) {\displaystyle \mathrm {h} _{l}^{(1)}(z)=\mathrm {j} _{l}(z)+i\mathrm {n} _{l}(z)=\left({\frac {\pi }{2z}}\right)^{\frac {1}{2}}\mathrm {H} _{l+1/2}^{(1)}(z)} h l ( 2 ) ( z ) = j l ( z ) − i n l ( z ) = ( π 2 z ) 1 2 H l + 1 / 2 ( 2 ) ( z ) {\displaystyle \mathrm {h} _{l}^{(2)}(z)=\mathrm {j} _{l}(z)-i\mathrm {n} _{l}(z)=\left({\frac {\pi }{2z}}\right)^{\frac {1}{2}}\mathrm {H} _{l+1/2}^{(2)}(z)} 2-19.29 Ai(z)Bi(z) エアリー関数 A i ( z ) = 1 3 z [ I − 1 3 ( w ) − I 1 3 ( w ) ] {\displaystyle \mathrm {A} _{i}(z)={\frac {1}{3}}{\sqrt {z}}\left[\mathrm {I} _{-{\frac {1}{3}}}(w)-\mathrm {I} _{\frac {1}{3}}(w)\right]} B i ( z ) = z 3 [ I − 1 3 ( w ) + I 1 3 ( w ) ] {\displaystyle \mathrm {B} _{i}(z)={\sqrt {\frac {z}{3}}}\left[\mathrm {I} _{-{\frac {1}{3}}}(w)+\mathrm {I} _{\frac {1}{3}}(w)\right]} （ここで、 w = 2 3 z 3 / 2 {\displaystyle w={\frac {2}{3}}z^{3/2}} ）
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