テイラー展開
テイラー級数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/07 06:40 UTC 版)
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テイラー級数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/26 15:19 UTC 版)
誤差関数は整関数である。（無限大以外で）特異点を持たず、テイラー展開は常に収束する。 定義にある積分は初等関数を使った閉形式では評価できないが、被積分関数 exp − z 2 {\displaystyle \exp ^{-z^{2}}} を対応するテイラー級数に展開して、項単位で積分すると、誤差関数のテイラー級数が以下のように得られる。 erf ( z ) = 2 π ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n z 2 n + 1 n ! ( 2 n + 1 ) = 2 π ( z − z 3 3 + z 5 10 − z 7 42 + z 9 216 − ⋯ ) {\displaystyle \operatorname {erf} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{n!(2n+1)}}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\left(z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{10}}-{\frac {z^{7}}{42}}+{\frac {z^{9}}{216}}-\ \cdots \right)} これは全ての複素数 z {\displaystyle z} について成り立つ。 これを反復的に計算するには、以下のように定式化するのが扱い易い。 erf ( z ) = 2 π ∑ n = 0 ∞ ( z ∏ k = 1 n − ( 2 k − 1 ) z 2 k ( 2 k + 1 ) ) = 2 π ∑ n = 0 ∞ z 2 n + 1 ∏ k = 1 n − z 2 k {\displaystyle \operatorname {erf} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }\left(z\prod _{k=1}^{n}{\frac {-(2k-1)z^{2}}{k(2k+1)}}\right)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z}{2n+1}}\prod _{k=1}^{n}{\frac {-z^{2}}{k}}} − ( 2 k − 1 ) z 2 k ( 2 k + 1 ) {\displaystyle {\frac {-(2k-1)z^{2}}{k(2k+1)}}} は k {\displaystyle k} 番目の項から k + 1 {\displaystyle k+1} 番目の項を得る係数を表している。 f = erf ( z ) {\displaystyle f=\operatorname {erf} \left(z\right)} や f = erfc ( z ) {\displaystyle f=\operatorname {erfc} \left(z\right)} と f = exp ( − z 2 ) {\displaystyle f=\exp \left(-z^{2}\right)} を比較するには、次の級数が利用できる。 e z 2 erf ( z ) = 2 π ∑ n = 0 ∞ 2 n z 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! ! = ∑ n = 0 ∞ z 2 n + 1 Γ ( n + 3 2 ) {\displaystyle e^{z^{2}}\operatorname {erf} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{n}z^{2n+1}}{(2n+1)!!}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{2n+1}}{\Gamma (n+{\frac {3}{2}})}}} ∞ {\displaystyle \infty } において誤差関数は正確に1になる（ガウス積分を参照）。 誤差関数の導関数は定義から即座に求められる。 d d z e r f ( z ) = 2 π e − z 2 {\displaystyle {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\,\mathrm {erf} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\,e^{-z^{2}}} 誤差関数の不定積分は次のようになる。 z erf ( z ) + e − z 2 π {\displaystyle z\,\operatorname {erf} (z)+{\frac {e^{-z^{2}}}{\sqrt {\pi }}}}
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