テイラー級数とは？わかりやすく解説

テイラー多項式の次数が上がるにつれて、正しい関数に近づく。この図は $sin x$ と、そのテイラー近似のうち、1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 次の多項式を示している。

指数関数 $e x$ (青) と、その $0$ におけるテイラー級数の最初の $n + 1$ 項の和 (赤)。

数学においてテイラー級数（テイラーきゅうすう、英: Taylor series）は、関数のある一点での導関数の値から計算される項の無限和として関数を表したものである。そのような級数を得ることをテイラー展開（テイラーてんかい）という。

テイラー級数の概念はスコットランドの数学者ジェームズ・グレゴリーにより定式化され、フォーマルにはイギリスの数学者ブルック・テイラーによって1715年に導入された。0 を中心としたテイラー級数は、マクローリン級数 (英: Maclaurin series) とも呼ばれる。これはスコットランドの数学者コリン・マクローリンにちなんでおり、彼は18世紀にテイラー級数のこの特別な場合を積極的に活用した。

関数はそのテイラー級数の有限個の項を用いて近似することができる。テイラーの定理はそのような近似による誤差の定量的な評価を与える。テイラー級数の最初のいくつかの項として得られる多項式はテイラー多項式と呼ばれる。関数のテイラー級数は、その関数のテイラー多項式で次数を増やした極限が存在すればその極限である。関数はそのテイラー級数がすべての点で収束するときでさえもテイラー級数に等しいとは限らない。開区間（あるいは複素平面の開円板）でテイラー級数に等しい関数はその区間上の解析関数と呼ばれる。

前述の通り、一定の条件の下でテイラー展開の高次の項を無視することができる。例えば単振り子の問題では、振り子の振れ角 $x$ が充分小さいことを利用して、正弦関数 $sin x$ を $x$ で近似できる。このように、関数をテイラー展開することで計算が容易になり、また原点近傍の振る舞いを詳細に調べることができるようになる。

一実変数関数のテイラー展開

→「テイラーの定理」も参照

正弦関数 $f(x)=\sin x$

ウィキブックスにMaxima/総和・総積・テイラー展開関連の解説書・教科書があります。

外部リンク

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Taylor series”, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
微積分I (2012) (12) 漸近展開 (1) (Calculus I (2012), Lecture 12) - YouTube
Weisstein, Eric W. "Taylor Series". mathworld.wolfram.com (英語).
Taylor series - PlanetMath.（英語）

この項目は、解析学に関連した書きかけの項目です。この項目を加筆・訂正などしてくださる協力者を求めています（プロジェクト:数学／Portal:数学）。


	All text is available under the terms of the GNU Free Documentation License. この記事は、ウィキペディアのテイラー展開 (改訂履歴)の記事を複製、再配布したものにあたり、GNU Free Documentation Licenseというライセンスの下で提供されています。 Weblio辞書に掲載されているウィキペディアの記事も、全てGNU Free Documentation Licenseの元に提供されております。
	Text is available under GNU Free Documentation License (GFDL). Weblio辞書に掲載されている「ウィキペディア小見出し辞書」の記事は、Wikipediaの多重指数 (改訂履歴)、誤差関数 (改訂履歴)の記事を複製、再配布したものにあたり、GNU Free Documentation Licenseというライセンスの下で提供されています。

テイラー級数とは？ わかりやすく解説

テイラー展開

一実変数関数のテイラー展開

外部リンク

テイラー級数

「テイラー級数」の関連用語

テイラー級数とは？わかりやすく解説