グリーンの定理

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グリーンの定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/06/24 03:06 UTC 版)

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解析学
基本定理 関数の極限 連続性 平均値の定理
微分法 定義 導関数 (一般化) 微分 無限小 関数の 全 概念 微分の記法 二階導関数 三階導関数 変数変換 陰関数の微分 Related rates テイラーの定理 法則と恒等式 和 積 合成 冪 商 一般ライプニッツ ファー・ディ・ブルーノの公式
積分法 積分一覧 定義 不定積分 積分 (広義) リーマン積分 ルベーグ積分 線積分 複素線積分 道具 部分 Discs 円殻（バウムクーヘン） 置換 三角置換 部分分数 順序 漸化式
級数 幾何 (算術幾何) 調和 交代 冪 二項 テイラー 収束判定法 項の極限（項判定法） 比 冪根 積分 比較 極限比較 交代級数 凝集 ディリクレ アーベル
ベクトル 勾配 発散 回転 ラプラシアン 方向微分 公式 定理 発散 勾配 グリーン ケルビン・ストークス
多変数 形式と枠組み 行列 テンソル 外 幾何学的 定義 偏微分 多重積分 線積分 面積分 体積分 ヤコビアン ヘッセ行列
特殊化 分数階微積分 解析接続 マリアヴァン 確率 変分
その他 解析学記号
表 話 編 歴

グリーンの定理（グリーンのていり、英: Green's theorem）は、ベクトル解析の定理である 。イギリスの物理学者ジョージ・グリーンが導出した。２つの異なる定理がそれぞれグリーンの定理と呼ばれる。詳細は以下に記す。 注: グリーンの恒等式もグリーンの定理と呼ばれることがある。

グリーンの定理（2次元）

2重積分と線積分との関係を表す数学公式である。これを3次元に拡張したものがストークスの定理であり、また一般化されたストークスの定理の特殊な場合（2次元空間内の1次微分形式と2次微分形式の関係式）とも考えられる。

公式

閉曲線 C で囲まれた領域 D を考える場合、C¹ 級関数 P(x, y), Q(x, y) について、以下が成り立つ。

$\oint _{C}(P\mathrm {d} x+Q\mathrm {d} y)=\iint _{D}\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)\mathrm {d} x\mathrm {d} y$

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グリーンの定理（2 次元）

• ストークスの定理
• コーシーの積分定理

グリーンの定理（3 次元）

• ケルビン・ストークスの定理
• ガウスの発散定理

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グリーンの定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/17 04:37 UTC 版)

「一般化されたストークスの定理」の記事における「グリーンの定理」の解説

グリーンの定理は、上で引用した P, Q および R から、両辺の第3項の積分として直ちに示される。