面積の求積
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/12 02:34 UTC 版)
グリーンの公式の応用の一つとして、平面内の領域Dに対し、その周囲における線積分による面積の求積がある。プラニメータにも応用されている。閉曲線Cで囲まれる領域Dに対し、その面積は A = ∬ D 1 d x d y {\displaystyle A=\iint _{D}1dxdy} で与えられる。P(x, y)=-y/2、Q(x, y)=x/2とすると、 ∂ Q ∂ x − ∂ P ∂ y = 1 {\displaystyle {\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}=1} であるから、グリーンの定理より、面積Aは線積分 A = 1 2 ∮ C − y d x + x d y {\displaystyle A={\frac {1}{2}}\oint _{C}-ydx+xdy} で求まる。 P(x, y)=-y、Q(x, y)=0、もしくはP(x, y)=0、Q(x, y)=xの組からも同様の結果を得ることができ、面積Aを求める線積分の公式として、 A = ∮ C x d y = ∮ C − y d x {\displaystyle A=\oint _{C}xdy=\oint _{C}-ydx} も成り立つ。
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