面積分
面積分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/12/02 20:00 UTC 版)
ここでは、ベクトル場の円柱表面∂M 上での面積分の計算方法を説明する。 x -y -z 空間で定義されたベクトル場X に対して、円柱面∂M 上の面積分を ∫ ∂ M X = ∫ Δ 1 X + ∫ Δ 2 X + ∫ Δ 3 X {\displaystyle \int _{\partial \mathbf {M} }{\mathbf {X} }=\int _{{\Delta }_{1}}{\mathbf {X} }+\int _{{\Delta }_{2}}{\mathbf {X} }+\int _{{\Delta }_{3}}{\mathbf {X} }} (5-2-1) ∫ Δ 1 X = ∫ r = 0 r = r 0 ∫ θ = 0 θ = 2 π ( X ⋅ ( ∂ I 1 ∂ r × ∂ I 1 ∂ θ ) ) d θ d r {\displaystyle \int _{{\Delta }_{1}}{\mathbf {X} }=\int _{r=0}^{r={{r}_{0}}}{\int _{\theta =0}^{\theta =2\pi }{\left(\mathbf {X} \cdot \left({\frac {\partial {{\mathbf {I} }_{1}}}{\partial r}}\times {\frac {\partial {{\mathbf {I} }_{1}}}{\partial \theta }}\right)\right)}}\ d\theta dr} (5-2-2) ∫ Δ 2 X = ∫ ζ = 0 ζ = ζ 0 ∫ θ = 0 θ = 2 π ( X ⋅ ( ∂ I 2 ∂ θ × ∂ I 2 ∂ ζ ) ) d θ d ζ {\displaystyle \int _{{\Delta }_{2}}{\mathbf {X} }=\int _{\zeta =0}^{\zeta ={{\zeta }_{0}}}{\int _{\theta =0}^{\theta =2\pi }{\left(\mathbf {X} \cdot \left({\frac {\partial {{\mathbf {I} }_{2}}}{\partial \theta }}\times {\frac {\partial {{\mathbf {I} }_{2}}}{\partial \zeta }}\right)\right)}}\ d\theta d\zeta } (5-2-3) ∫ Δ 3 X = ∫ r = 0 r = r 0 ∫ θ = 0 θ = 2 π ( X ⋅ ( ∂ I 3 ∂ r × ∂ I 3 ∂ θ ) ) d θ d r {\displaystyle \int _{{\Delta }_{3}}{\mathbf {X} }=\int _{r=0}^{r={{r}_{0}}}{\int _{\theta =0}^{\theta =2\pi }{\left(\mathbf {X} \cdot \left({\frac {\partial {{\mathbf {I} }_{3}}}{\partial r}}\times {\frac {\partial {{\mathbf {I} }_{3}}}{\partial \theta }}\right)\right)}}\ d\theta dr} (5-2-4) X ⋅ ( ∂ I 1 ∂ r × ∂ I 1 ∂ θ ) = X ⋅ ( ∂ I 1 ∂ r × ∂ I 1 ∂ θ ) ∥ ∂ I 1 ∂ r × ∂ I 1 ∂ θ ∥ ∥ ∂ I 1 ∂ r × ∂ I 1 ∂ θ ∥ = ( X ⋅ N ζ ) ∥ ∂ I 1 ∂ r × ∂ I 1 ∂ θ ∥ = r ⋅ X ζ {\displaystyle \mathbf {X} \cdot \left({\frac {\partial {{\mathbf {I} }_{1}}}{\partial r}}\times {\frac {\partial {{\mathbf {I} }_{1}}}{\partial \theta }}\right)=\mathbf {X} \cdot {\frac {\left({\frac {\partial {{\mathbf {I} }_{1}}}{\partial r}}\times {\frac {\partial {{\mathbf {I} }_{1}}}{\partial \theta }}\right)}{\left\|{\frac {\partial {{\mathbf {I} }_{1}}}{\partial r}}\times {\frac {\partial {{\mathbf {I} }_{1}}}{\partial \theta }}\right\|}}\left\|{\frac {\partial {{\mathbf {I} }_{1}}}{\partial r}}\times {\frac {\partial {{\mathbf {I} }_{1}}}{\partial \theta }}\right\|=\left(\mathbf {X} \cdot {{\mathbf {N} }_{\zeta }}\right)\left\|{\frac {\partial {{\mathbf {I} }_{1}}}{\partial r}}\times {\frac {\partial {{\mathbf {I} }_{1}}}{\partial \theta }}\right\|=r\cdot {{X}_{\zeta }}} (5-2-5) X ⋅ ( ∂ I 2 ∂ θ × ∂ I 2 ∂ ζ ) = r 0 ⋅ X r {\displaystyle \mathbf {X} \cdot \left({\frac {\partial {{\mathbf {I} }_{2}}}{\partial \theta }}\times {\frac {\partial {{\mathbf {I} }_{2}}}{\partial \zeta }}\right)={{r}_{0}}\cdot {{X}_{r}}} (5-2-6) X ⋅ ( ∂ I 3 ∂ θ × ∂ I 3 ∂ ζ ) = − r ⋅ X ζ {\displaystyle \mathbf {X} \cdot \left({\frac {\partial {{\mathbf {I} }_{3}}}{\partial \theta }}\times {\frac {\partial {{\mathbf {I} }_{3}}}{\partial \zeta }}\right)=-r\cdot {{X}_{\zeta }}} (5-2-7) ∫ Δ 1 X = ∫ r = 0 r = r 0 ∫ θ = 0 θ = 2 π r ⋅ X ζ ( r , θ , ζ 0 ) d θ d r {\displaystyle \int _{{\Delta }_{1}}{\mathbf {X} }=\int _{r=0}^{r={{r}_{0}}}{\int _{\theta =0}^{\theta =2\pi }{r\cdot {{X}_{\zeta }}(r,\theta ,{{\zeta }_{0}})}}\ d\theta dr} (5-2-8) ∫ Δ 2 X = ∫ θ = 0 θ = 2 π r 0 ⋅ X r ( r 0 , θ , ζ ) d θ d ζ {\displaystyle \int _{{\Delta }_{2}}{\mathbf {X} }=\int _{\theta =0}^{\theta =2\pi }{{{r}_{0}}\cdot {{X}_{r}}({{r}_{0}},\theta ,\zeta )}\ d\theta d\zeta } (5-2-9) ∫ Δ 3 X = ∫ r = 0 r = r 0 ∫ θ = 0 θ = 2 π − r ⋅ X ζ ( r , θ , 0 ) d θ d r {\displaystyle \int _{{\Delta }_{3}}{\mathbf {X} }=\int _{r=0}^{r={{r}_{0}}}{\int _{\theta =0}^{\theta =2\pi }{-r\cdot {{X}_{\zeta }}(r,\theta ,0)}}\ d\theta dr} (5-2-10) である。従って、 ∫ ∂ M X = ∫ r = 0 r = r 0 ∫ θ = 0 θ = 2 π r ( X ζ ( r , θ , ζ 0 ) − X ζ ( r , θ , 0 ) ) d θ d r + ∫ ζ = 0 ζ = ζ 0 ∫ θ = 0 θ = 2 π r 0 X r ( r 0 , θ , ζ ) d θ d ζ {\displaystyle \int _{\partial \mathbf {M} }{\mathbf {X} }=\int _{r=0}^{r={{r}_{0}}}{\int _{\theta =0}^{\theta =2\pi }r{\left({{X}_{\zeta }}(r,\theta ,{{\zeta }_{0}})-{{X}_{\zeta }}(r,\theta ,0)\right)d\theta dr}}\ \ +\int _{\zeta =0}^{\zeta ={{\zeta }_{0}}}{\int _{\theta =0}^{\theta =2\pi }{{{r}_{0}}{{X}_{r}}({{r}_{0}},\theta ,\zeta )}}\ d\theta d\zeta } (5-2-11) が分かる。
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面積分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/09 16:01 UTC 版)
詳細は「面積分」を参照 面積分は空間内の曲面の上で定義される定積分で、線積分の二次元的な類似物である。積分される関数はやはりスカラー場かもしれないしベクトル場かもしれない。面積分の値というのは、曲面上の各点における場の値の総和であり、曲面を面素に分割することによって得られるリーマン和の極限として構成される。 面積分の応用例としては、曲面 S 上のベクトル場 v（つまり、S の各点 x に対して v(x) がベクトル）が与えられているとき、S を通過する流体で x における流体の速度が v(x) で与えられる状況を考えればよい。流束は単位時間当たりに S を通過する流体の量として定義される。流束を求めるためには、各点で v と単位法ベクトルとの点乗積をとる必要があり、その結果得られたスカラー場を曲面上で積分した ∫ S v ⋅ d S {\displaystyle \int _{S}{\mathbf {v} }\cdot \,d{\mathbf {S} }} が流束の値を与える（S は S の適当な向きの単位法ベクトル場）。この例における流体の流束は、水や空気の流束あるいは電束や磁束といった物理的なものを想定することができる。このように面積分は物理学、特に電磁気学の古典論に応用を持つ。
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