(2)絶対値による面積分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/06 01:28 UTC 版)
定義は、以下の通りである。 ∫ s ∈ S X ( s ) | d 2 S | := ∫ ( u 1 , u 2 ) ∈ I X ( φ ( u 1 , u 2 ) ) | ∂ φ ∂ u 1 × ∂ φ ∂ u 2 | d u 1 d u 2 {\displaystyle {\int }_{\mathbf {s} \in S}\mathbf {X} (\mathbf {s} )\ |{d}^{2}S|:={\int }_{({u}_{1},{u}_{2})\in I}\mathbf {X} (\varphi ({u}_{1},{u}_{2}))\ \left|{\frac {\partial \varphi }{\partial {u}_{1}}}\times {\frac {\partial \varphi }{\partial {u}_{2}}}\right|\ d{u}_{1}d{u}_{2}} 本記事では、絶対値による面積分の場合は、 | d 2 S | {\displaystyle \ |{d}^{2}S|} のように、面素に絶対値記号をつけることにする。 右辺は、 ( u 1 , u 2 ) {\displaystyle ({u}_{1},{u}_{2})} についてのベクトル値関数 X ( φ ( u 1 , u 2 ) ) | ∂ φ ∂ u 1 × ∂ φ ∂ u 2 | {\displaystyle \mathbf {X} (\varphi ({u}_{1},{u}_{2}))\ \left|{\frac {\partial \varphi }{\partial {u}_{1}}}\times {\frac {\partial \varphi }{\partial {u}_{2}}}\right|} を、成分ごとに区間I上で重積分したものを意味する。即ち、絶対値による面積分は「関数の面積分を各成分ごとにやる」というのと同じ意味である。
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