面素
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/05 07:50 UTC 版)
滑らかな曲面 S 上の点座標 x = (x, y, z) が独立な変数 u, v の関数として x = S(u, v) ≔ (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) によって表されるとき、 d σ = | d x | = | d S | := | ∂ S ∂ u × ∂ S ∂ v | d u d v {\displaystyle d\sigma =|d\mathbf {x} |=|dS|:=\left\vert {\dfrac {\partial S}{\partial u}}\times {\dfrac {\partial S}{\partial v}}\right\vert \,du\,dv} を曲面 S = S(u, v) の u, v に関する面積要素あるいは面素と呼ぶ。 ここで、 | ∂ S ∂ u × ∂ S ∂ v | 2 = | ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v ∂ z ∂ u ∂ z ∂ v | 2 + | ∂ z ∂ u ∂ z ∂ v ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v | 2 + | ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v | 2 = E G − F 2 {\displaystyle \left\vert {\dfrac {\partial S}{\partial u}}\times {\dfrac {\partial S}{\partial v}}\right\vert ^{2}={\begin{vmatrix}{\dfrac {\partial y}{\partial u}}&{\dfrac {\partial y}{\partial v}}\\[14pt]{\dfrac {\partial z}{\partial u}}&{\dfrac {\partial z}{\partial v}}\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}{\dfrac {\partial z}{\partial u}}&{\dfrac {\partial z}{\partial v}}\\[14pt]{\dfrac {\partial x}{\partial u}}&{\dfrac {\partial x}{\partial v}}\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial u}}&{\dfrac {\partial x}{\partial v}}\\[14pt]{\dfrac {\partial y}{\partial u}}&{\dfrac {\partial y}{\partial v}}\end{vmatrix}}^{2}=EG-F^{2}} は、S の線素 ds2 = Edu2 + 2Fdudv + Gdv2 から定まる第一基本量 { E := ( ∂ x ∂ u ) 2 + ( ∂ y ∂ u ) 2 + ( ∂ z ∂ u ) 2 F := ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v + ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v + ∂ z ∂ u ∂ z ∂ v G := ( ∂ x ∂ v ) 2 + ( ∂ y ∂ v ) 2 + ( ∂ z ∂ v ) 2 {\displaystyle {\begin{cases}E:=\left({\dfrac {\partial x}{\partial u}}\right)^{2}+\left({\dfrac {\partial y}{\partial u}}\right)^{2}+\left({\dfrac {\partial z}{\partial u}}\right)^{2}\\[14pt]F:={\dfrac {\partial x}{\partial u}}{\dfrac {\partial x}{\partial v}}+{\dfrac {\partial y}{\partial u}}{\dfrac {\partial y}{\partial v}}+{\dfrac {\partial z}{\partial u}}{\dfrac {\partial z}{\partial v}}\\[14pt]G:=\left({\dfrac {\partial x}{\partial v}}\right)^{2}+\left({\dfrac {\partial y}{\partial v}}\right)^{2}+\left({\dfrac {\partial z}{\partial v}}\right)^{2}\end{cases}}} によって記述できて、面素 dσ はパラメータ u, v の取り方に依らない。
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